Pode-se obter aproximações de
utilizando a sequência recursiva
, onde
.
(a) Encontre as aproximações
para
.
(b) Mostre que, se
, então
.
(a) Encontre as aproximações
(b) Mostre que, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre encontrar aproximações para a raiz quadrada de 10 usando uma sequência recursiva. O conteúdo aqui envolve sequências numéricas e métodos de aproximação. Vamos precisar entender como funciona essa sequência e aplicar a fórmula que foi dada para calcular cada termo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar. A sequência é definida por:
Aqui,
é 10 (porque queremos a raiz quadrada de 10) e nosso primeiro termo
é
. Essa fórmula nos ajuda a melhorar nossa aproximação a cada passo.
Passo 3
Vamos calcular
. Usando a fórmula:
Primeiro, calculamos
. Então:
Passo 4
Agora, vamos para
:
Calculando
:
Passo 5
Vamos para
:
Calculando
:
Passo 6
Agora,
:
Calculando
:
Passo 7
Por fim, vamos calcular
:
Calculando
:
Passo 8
Agora, vamos mostrar que se
, então
.
Assumindo que a sequência converge para
, podemos substituir
e
por
na fórmula recursiva:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então:
Resposta
As aproximações para
são:
Além disso, mostramos que o limite da sequência
é de fato
.