Pode-se obter aproximações de utilizando a sequência recursiva , onde .
(a) Encontre as aproximações para .
(b) Mostre que, se , então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre encontrar aproximações para a raiz quadrada de 10 usando uma sequência recursiva. O conteúdo aqui envolve sequências numéricas e métodos de aproximação. Vamos precisar entender como funciona essa sequência e aplicar a fórmula que foi dada para calcular cada termo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar. A sequência é definida por:
Aqui, é 10 (porque queremos a raiz quadrada de 10) e nosso primeiro termo é . Essa fórmula nos ajuda a melhorar nossa aproximação a cada passo.

Passo 3

Vamos calcular . Usando a fórmula:
Primeiro, calculamos . Então:

Passo 4

Agora, vamos para :
Calculando :

Passo 5

Vamos para :
Calculando :

Passo 6

Agora, :
Calculando :

Passo 7

Por fim, vamos calcular :
Calculando :

Passo 8

Agora, vamos mostrar que se , então .
Assumindo que a sequência converge para , podemos substituir e por na fórmula recursiva:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Então:

Resposta

As aproximações para são:
Além disso, mostramos que o limite da sequência é de fato .

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(a) A função é contínua na origem.
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a) circunferência de centro em e raio 2, no sentido anti-horário:
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c) quadrado de vértices e no sentido anti-horário;
d) circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário.