Pode-se obter aproximações de raizk utilizando a sequência recursiva un+1=12(un+kun), onde u1=12.
(a) Encontre as aproximações u2, u3, u4, u5, u6 para raiz10.
(b) Mostre que, se L=lim n infty un, então L=raizk.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre encontrar aproximações para a raiz quadrada de 10 usando uma sequência recursiva. O conteúdo aqui envolve sequências numéricas e métodos de aproximação. Vamos precisar entender como funciona essa sequência e aplicar a fórmula que foi dada para calcular cada termo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar. A sequência é definida por:
un+1 = 12(un + kun)
Aqui, é 10 (porque queremos a raiz quadrada de 10) e nosso primeiro termo é . Essa fórmula nos ajuda a melhorar nossa aproximação a cada passo.

Passo 3

Vamos calcular u2 = 12(u1 + 10u1) = 12(12 + 1012) . Usando a fórmula:
u2 = 12(12 + 20) = 12(12 + 402) = 12 times 412 = 414 = 10,25
Primeiro, calculamos . Então:

Passo 4

Agora, vamos para u3 = 12(u2 + 10u2) = 12(10,25 + 1010,25) :
u3 = 12(10,25 + 0,9756) = 12 times 11,2256 approx 5,6128
Calculando :

Passo 5

Vamos para u4 = 12(u3 + 10u3) = 12(5,6128 + 105,6128) :
u4 = 12(5,6128 + 1,781) = 12 times 7,3938 approx 3,6969
Calculando :

Passo 6

Agora, u5 = 12(u4 + 10u4) = 12(3,6969 + 103,6969) :
u5 = 12(3,6969 + 2,705) = 12 times 6,4019 approx 3,20095
Calculando :

Passo 7

Por fim, vamos calcular u6 = 12(u5 + 10u5) = 12(3,20095 + 103,20095) :
u6 = 12(3,20095 + 3,124) = 12 times 6,32495 approx 3,162475
Calculando :

Passo 8

Agora, vamos mostrar que se L = 12(L + 10L) , então 2L = L + 10L .
Assumindo que a sequência converge para L = 10L , podemos substituir L^2 = 10 e L = raiz10 por na fórmula recursiva:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Então:

Resposta

As aproximações para são:
Além disso, mostramos que o limite da sequência é de fato .

Exercícios relacionados