Encontrar o fluxo do campo vetorial
através da superfície do corpo limitado por
, com orientação normal exterior.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial
e queremos encontrar o fluxo desse campo através de uma superfície que limita um corpo definido pelas seguintes equações:
-
(um cilindro de raio 3), -
(plano xy), -
com .
O conteúdo que vamos utilizar aqui envolve cálculo vetorial, especialmente o teorema da divergência (também conhecido como teorema de Gauss). Para resolver, precisaremos calcular a divergência do campo vetorial
e integrar esse resultado sobre o volume limitado pela superfície descrita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de campo que “passa” pela superfície. Matematicamente, para um campo vetorial
e uma superfície
com orientação normal
, o fluxo
é dado por:
No entanto, calcular esse fluxo diretamente pode ser complicado. Por isso, vamos usar o teorema da divergência, que relaciona o fluxo através da superfície com uma integral sobre o volume
limitado por essa superfície:
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Para o nosso campo
:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos a divergência, precisamos determinar o volume
sobre o qual iremos integrar. A região está limitada pelo cilindro
, pelo plano
e pela superfície
com
.
Vamos descrever esse volume em coordenadas cilíndricas, já que a simetria do problema sugere essa escolha. Em coordenadas cilíndricas:
As limites ficam:
-
varia de 0 a 3 (raio do cilindro), -
varia de 0 a (já que com implica ), -
varia de 0 a , que em coordenadas cilíndricas fica .
Passo 5
Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o fluxo usando o teorema da divergência:
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume
é
. Portanto, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Substituindo na integral:
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a
:
Portanto:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície dada é 36.
Exercícios relacionados
Calcular
onde
é a curva obtida pela interseção do hemisfério superior da esfera de raio 1 e centro na origem, com o plano
orientada do eixo
para o eixo
.
Calcule
onde
e
é dada por:
(a) , com
.
(a)
Encontrar o fluxo do campo vetorial
através da superfície da pirâmide com vértices
e
, com orientação normal exterior.
Encontrar o fluxo do campo vetorial
através superfície do corpo limitado por
, e
, com orientação normal exterior.