Encontrar o fluxo do campo vetorial através da superfície do corpo limitado por , com orientação normal exterior.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial e queremos encontrar o fluxo desse campo através de uma superfície que limita um corpo definido pelas seguintes equações:
  • (um cilindro de raio 3),
  • (plano xy),
  • com .
O conteúdo que vamos utilizar aqui envolve cálculo vetorial, especialmente o teorema da divergência (também conhecido como teorema de Gauss). Para resolver, precisaremos calcular a divergência do campo vetorial e integrar esse resultado sobre o volume limitado pela superfície descrita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de campo que “passa” pela superfície. Matematicamente, para um campo vetorial e uma superfície com orientação normal , o fluxo é dado por:
No entanto, calcular esse fluxo diretamente pode ser complicado. Por isso, vamos usar o teorema da divergência, que relaciona o fluxo através da superfície com uma integral sobre o volume limitado por essa superfície:

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é dada por:
Para o nosso campo :
Portanto:

Passo 4

Agora que temos a divergência, precisamos determinar o volume sobre o qual iremos integrar. A região está limitada pelo cilindro , pelo plano e pela superfície com .
Vamos descrever esse volume em coordenadas cilíndricas, já que a simetria do problema sugere essa escolha. Em coordenadas cilíndricas:
As limites ficam:
  • varia de 0 a 3 (raio do cilindro),
  • varia de 0 a (já que com implica ),
  • varia de 0 a , que em coordenadas cilíndricas fica .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o fluxo usando o teorema da divergência:
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é . Portanto, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Substituindo na integral:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a :
Portanto:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície dada é 36.

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