Encontrar o fluxo do campo vetorial
através da superfície da pirâmide com vértices
e
, com orientação normal exterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o fluxo do campo vetorial
através da superfície de uma pirâmide com vértices em
,
,
e
, usando orientação normal exterior. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral tripla da divergência do campo no volume limitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo
. A divergência é dada por:
Vamos derivar cada componente:
Então, a divergência é:
Passo 3
Agora, usando o Teorema da Divergência, o fluxo
através da superfície fechada da pirâmide é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
da pirâmide:
Como
, a integral fica:
Passo 4
Vamos calcular o volume da pirâmide. A pirâmide com base triangular tem vértices em
,
e
, e o vértice superior em
. O volume
de uma pirâmide é dado por:
A base é um triângulo com lados de comprimento 1, então a área da base é:
A altura da pirâmide é 1 (a coordenada z do vértice superior).
Passo 5
Substituindo na fórmula do volume:
Portanto, o fluxo
é igual a
.
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície da pirâmide é
.