Encontrar o fluxo do campo vetorial F = (x - 2z, 3z - 4x, 5x + y) através da superfície da pirâmide com vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1), com orientação normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o fluxo do campo vetorial através da superfície de uma pirâmide com vértices em , , e , usando orientação normal exterior. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral tripla da divergência do campo no volume limitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo . A divergência é dada por:
Vamos derivar cada componente:
Então, a divergência é:

Passo 3

Agora, usando o Teorema da Divergência, o fluxo através da superfície fechada da pirâmide é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume da pirâmide:
Como , a integral fica:
â

Passo 4

Vamos calcular o volume da pirâmide. A pirâmide com base triangular tem vértices em , e , e o vértice superior em . O volume de uma pirâmide é dado por:
Á
A base é um triângulo com lados de comprimento 1, então a área da base é:
Á
A altura da pirâmide é 1 (a coordenada z do vértice superior).

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume:
Portanto, o fluxo é igual a .

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície da pirâmide é .

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