Calcular para os casos abaixo.
Em todas as situações, pode-se imaginar que a integral calculada fornece o trabalho realizado pelo campo vetorial (campo de forças) enquanto um objeto se desloca na curva :

para

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha , que representa o trabalho realizado por um campo vetorial enquanto um objeto se move ao longo de uma curva . Aqui, o campo vetorial é e a curva é parametrizada por para . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela está parametrizada por , o que significa que conforme varia de a , a posição do objeto muda de acordo com essas funções trigonométricas nos eixos e , e linearmente no eixo .

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização da curva na função do campo vetorial . Substituindo por , temos:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é :

Passo 5

A integral de linha pode ser expressa como uma integral em termos de :
Simplificando os termos dentro da integral:

Passo 6

Vamos resolver a integral dividindo-a em três partes:
Primeira Integral:
Fazendo a substituição , então :
Avaliando de a :
Segunda Integral:
Fazendo a substituição , então :
Avaliando de a :
Terceira Integral:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Toda equação diferencial que pode ser colocada na forma é uma equação de Riccati.
a) Se ou se , qual o método de solução aplicável à equação de Riccati?
Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
20. .
Calcule a integral de superfície:
(a) onde é a parte do plano que está acima do retângulo .
Use o Teorema de Stokes para calcular : onde é a circunferência .