Calcular integralC F(x, y, z) d r para os casos abaixo.
Em todas as situações, pode-se imaginar que a integral calculada fornece o trabalho realizado pelo campo vetorial (campo de forças) F enquanto um objeto se desloca na curva C :
F(x, y, z)=(x^2, y^2, z^2)
C: r(t)=(2 cos (t), 3 sen(t), t) para 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha , que representa o trabalho realizado por um campo vetorial enquanto um objeto se move ao longo de uma curva . Aqui, o campo vetorial é e a curva é parametrizada por para . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela está parametrizada por , o que significa que conforme varia de a , a posição do objeto muda de acordo com essas funções trigonométricas nos eixos e , e linearmente no eixo .

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização da curva na função do campo vetorial F(r(t)) = ( (2 cos t)^2,, (3 sin t)^2,, t^2 ) = (4 cos^2 t,, 9 sin^2 t,, t^2) . Substituindo por , temos:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a derivada de r'(t) = ( ddt(2 cos t),, ddt(3 sin t),, ddt(t) ) = (-2 sin t,, 3 cos t,, 1) em relação a , que é :

Passo 5

A integral de linha integral0^2pi F(r(t)) cdot r'(t) , dt = integral0^2pi (4 cos^2 t cdot (-2 sin t) + 9 sin^2 t cdot 3 cos t + t^2 cdot 1 ) dt pode ser expressa como uma integral em termos de = integral0^2pi (-8 cos^2 t sin t + 27 sin^2 t cos t + t^2) , dt :
Simplificando os termos dentro da integral:

Passo 6

Vamos resolver a integral dividindo-a em três partes:
  1. integral -8 cos^2 t sin t , dt
  2. integral -8 u^2 (-du) = integral 8 u^2 , du = 83 u^3 + C = 83 cos^3 t + C
  3. 83 (cos^3(2pi) - cos^3(0)) = 83 (1 - 1) = 0
Primeira Integral:
integral 27 sin^2 t cos t , dt
Fazendo a substituição integral 27 v^2 , dv = 9 v^3 + C = 9 sin^3 t + C , então 9 (sin^3(2pi) - sin^3(0)) = 9 (0 - 0) = 0 :
integral0^2pi t^2 , dt = [ t^33 ]0^2pi = (2pi)^33 - 0 = 8pi^33
Avaliando de a :
Segunda Integral:
Fazendo a substituição , então :
Avaliando de a :
Terceira Integral:

Resposta

O valor da integral é .

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