Calcular
para os casos abaixo.
Em todas as situações, pode-se imaginar que a integral calculada fornece o trabalho realizado pelo campo vetorial (campo de forças)
enquanto um objeto se desloca na curva
:
para
Em todas as situações, pode-se imaginar que a integral calculada fornece o trabalho realizado pelo campo vetorial (campo de forças)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha
, que representa o trabalho realizado por um campo vetorial enquanto um objeto se move ao longo de uma curva
. Aqui, o campo vetorial é
e a curva
é parametrizada por
para
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela está parametrizada por
, o que significa que conforme
varia de
a
, a posição do objeto muda de acordo com essas funções trigonométricas nos eixos
e
, e linearmente no eixo
.
Passo 3
Agora, vamos substituir a parametrização da curva na função do campo vetorial
. Substituindo
por
, temos:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
:
Passo 5
A integral de linha
pode ser expressa como uma integral em termos de
:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 6
Vamos resolver a integral dividindo-a em três partes:
Primeira Integral:
Fazendo a substituição
, então
:
Avaliando de
a
:
Segunda Integral:
Fazendo a substituição
, então
:
Avaliando de
a
:
Terceira Integral:
Resposta
O valor da integral é
.
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é uma equação de Riccati.
a) Se ou se
, qual o método de solução aplicável à equação de Riccati?
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Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
20. .
20.
Calcule a integral de superfície:
(a) onde
é a parte do plano
que está acima do retângulo
.
(a)
Use o Teorema de Stokes para calcular
:
onde
é a circunferência
.