Use o Teorema de Stokes para calcular : onde é a circunferência .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O que a gente tem aqui é um campo vetorial e uma curva que é uma circunferência definida por no plano onde . Vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de , escolher uma superfície que tenha como contorno e, por fim, calcular a integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem como fronteira. A fórmula é:
Onde é o rotacional de e é o vetor normal à superfície .
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de . O rotacional é dado por:
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície que tenha como fronteira. A escolha mais simples é o disco no plano limitado pela circunferência . Esse disco tem raio 4.
A normal à superfície é o vetor , já que a superfície está paralela ao plano .
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar :
Porque apenas a componente do rotacional contribui, e .
Passo 6
Agora, substituímos pela constante do plano, que é :
Isso significa que a expressão dentro da integral de superfície é constante.