Use o Teorema de Stokes para calcular : onde é a circunferência .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O que a gente tem aqui é um campo vetorial e uma curva que é uma circunferência definida por no plano onde . Vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de , escolher uma superfície que tenha como contorno e, por fim, calcular a integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem como fronteira. A fórmula é:
Onde é o rotacional de e é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de . O rotacional é dado por:
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície que tenha como fronteira. A escolha mais simples é o disco no plano limitado pela circunferência . Esse disco tem raio 4.
A normal à superfície é o vetor , já que a superfície está paralela ao plano .

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :
Porque apenas a componente do rotacional contribui, e .

Passo 6

Agora, substituímos pela constante do plano, que é :
Isso significa que a expressão dentro da integral de superfície é constante.

Passo 7

Vamos calcular a integral de superfície:
A área do disco é:
Á

Passo 8

Substituindo na integral:

Resposta

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Calcule a integral de superfície:
(a) onde é a parte do plano que está acima do retângulo .
Calcular para os casos abaixo.
Em todas as situações, pode-se imaginar que a integral calculada fornece o trabalho realizado pelo campo vetorial (campo de forças) enquanto um objeto se desloca na curva :

para
Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada e faça um esboço: para .
Encontre a equação da reta tangente a curva parametrizada no ponto fornecido: .