Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r: F(x, y, z)=y z i+2 x z j+e^x y k onde C é a circunferência x^2+y^2=16 e z=5.80 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O que a gente tem aqui é um campo vetorial e uma curva que é uma circunferência definida por no plano onde . Vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de , escolher uma superfície que tenha como contorno e, por fim, calcular a integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem como fronteira. A fórmula é:
Onde é o rotacional de e é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z yz & 2xz & e^xy . O rotacional nabla times F = ( partial e^xypartial y - partial (2xz)partial z ) i - ( partial e^xypartial x - partial (yz)partial z ) j + ( partial (2xz)partial x - partial (yz)partial y ) k é dado por:
i: x e^xy - 2x j: y e^xy - y k: 2z - z
Calculando o determinante:
nabla times F = (x e^xy - 2x),i - (y e^xy - y),j + z,k
Simplificando cada componente:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície que tenha como fronteira. A escolha mais simples é o disco no plano limitado pela circunferência . Esse disco tem raio 4.
A normal à superfície é o vetor , já que a superfície está paralela ao plano .

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n = z :
Porque apenas a componente do rotacional contribui, e .

Passo 6

Agora, substituímos (nabla times F) cdot n = 5.80pi pela constante do plano, que é :
Isso significa que a expressão dentro da integral de superfície é constante.

Passo 7

Vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS = 5.80pi integral duplaS dS
A área do disco Área = pi r^2 = pi (4)^2 = 16pi é:
Á

Passo 8

Substituindo na integral:
integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS = 5.80pi times 16pi = 92.8,pi^2

Resposta

ointC F cdot dr = 92.8,pi^2

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