Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
20. y' - n*y/(x+1) = e^x*(x+1)^n, n pertence a N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação na forma padrão de uma equação linear:
Comparando com a equação dada:
Assim, identificamos:

Passo 3

Agora, calculamos o fator integrante usando a fórmula:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
A esquerda da equação agora é a derivada de :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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