Toda equação diferencial que pode ser colocada na forma
é uma equação de Riccati.
a) Se
ou se
, qual o método de solução aplicável à equação de Riccati?
a) Se
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos uma equação de Riccati na forma
. A questão pede para identificar qual método de solução podemos usar quando
ou
. Para resolver isso, precisamos entender como a equação de Riccati se simplifica nessas condições e quais métodos são apropriados para essas formas simplificadas.
Passo 2
Primeiro, consideremos o caso em que
. Substituindo na equação de Riccati, temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é mais simples de resolver comparada à equação de Riccati geral. Para resolver esse tipo de equação, podemos usar o fator integrante ou outros métodos de resolução para equações lineares.
Passo 3
Agora, vejamos o caso em que
. A equação de Riccati se torna:
Podemos fatorar
para obter:
Essa forma sugere que a equação pode ser separável ou que uma substituição adequada pode transformar a equação de Riccati em uma equação mais fácil de resolver, como uma equação diferencial linear.
Resposta
Quando
ou
, a equação de Riccati pode ser resolvida utilizando métodos para equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
20. .
20.
Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
15.
15.
Calcular
para os casos abaixo.
Em todas as situações, pode-se imaginar que a integral calculada fornece o trabalho realizado pelo campo vetorial (campo de forças) enquanto um objeto se desloca na curva
:
para
Em todas as situações, pode-se imaginar que a integral calculada fornece o trabalho realizado pelo campo vetorial (campo de forças)
Calcule a integral de superfície:
(a) onde
é a parte do plano
que está acima do retângulo
.
(a)