Calcule a integral de superfície:
(a) onde é a parte do plano que está acima do retângulo .
Passo 1
Então, temos que calcular a integral de superfície , onde é a parte do plano que está acima do retângulo . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a superfície e transformar a integral de superfície em uma integral dupla mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como parametrizar a superfície . Como está definida pelo plano , podemos expressar em termos de e . Isso facilita a transformação da integral de superfície em uma integral dupla sobre a região no plano .
Passo 3
Sabemos que para uma superfície definida como , a diferencial de área de superfície pode ser calculada usando a fórmula:
No nosso caso, . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de :
Substituindo na fórmula de :
Passo 5
Agora, substituímos na integral original pela expressão em termos de e :
Fatoramos o para fora da integral:
Passo 6
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral se torna:
Passo 7
Agora, calculamos cada uma das integrais separadamente, onde é o retângulo :