Calcule a integral de superfície:
(a) onde é a parte do plano que está acima do retângulo .

Passo 1

Então, temos que calcular a integral de superfície , onde é a parte do plano que está acima do retângulo . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a superfície e transformar a integral de superfície em uma integral dupla mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como parametrizar a superfície . Como está definida pelo plano , podemos expressar em termos de e . Isso facilita a transformação da integral de superfície em uma integral dupla sobre a região no plano .

Passo 3

Sabemos que para uma superfície definida como , a diferencial de área de superfície pode ser calculada usando a fórmula:
No nosso caso, . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de :
Substituindo na fórmula de :

Passo 5

Agora, substituímos na integral original pela expressão em termos de e :
Fatoramos o para fora da integral:

Passo 6

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral se torna:

Passo 7

Agora, calculamos cada uma das integrais separadamente, onde é o retângulo :

Passo 8

Calculando cada integral:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 9

Somando as integrais calculadas:
Multiplicando pelo :

Resposta

A integral de superfície é igual a .

Exercícios relacionados

Calcular para os casos abaixo.
Em todas as situações, pode-se imaginar que a integral calculada fornece o trabalho realizado pelo campo vetorial (campo de forças) enquanto um objeto se desloca na curva :

para
Toda equação diferencial que pode ser colocada na forma é uma equação de Riccati.
a) Se ou se , qual o método de solução aplicável à equação de Riccati?
Use o Teorema de Stokes para calcular : onde é a circunferência .
Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada e faça um esboço: para .