Calcule a integral de superfície:
(a) integral duplaS x^2 y z d S onde S é a parte do plano z=1+2 x+3 y que está acima do retângulo [0,3] times[0,2] 171 raiz14.

Passo 1

Então, temos que calcular a integral de superfície , onde é a parte do plano que está acima do retângulo . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a superfície e transformar a integral de superfície em uma integral dupla mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como parametrizar a superfície . Como está definida pelo plano , podemos expressar em termos de e . Isso facilita a transformação da integral de superfície em uma integral dupla sobre a região no plano .

Passo 3

Sabemos que para uma superfície definida como dS = raiz( partial fpartial x )^2 + ( partial fpartial y )^2 + 1 , dx , dy , a diferencial de área de superfície pode ser calculada usando a fórmula:
No nosso caso, . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de partial fpartial x = 2 e partial fpartial y = 3 :
dS = raiz2^2 + 3^2 + 1 , dx , dy = raiz4 + 9 + 1 , dx , dy = raiz14 , dx , dy
Substituindo na fórmula de :

Passo 5

Agora, substituímos integral duplaS x^2 y z , dS = integral duplaD x^2 y (1 + 2x + 3y) raiz14 , dx , dy na integral original pela expressão em termos de raiz14 integral duplaD x^2 y (1 + 2x + 3y) , dx , dy e :
Fatoramos o para fora da integral:

Passo 6

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
x^2 y (1 + 2x + 3y) = x^2 y + 2x^3 y + 3x^2 y^2
Portanto, a integral se torna:
raiz14 ( integral duplaD x^2 y , dx , dy + 2 integral duplaD x^3 y , dx , dy + 3 integral duplaD x^2 y^2 , dx , dy )

Passo 7

Agora, calculamos cada uma das integrais separadamente, onde integral duplaD x^2 y , dx , dy = integral0^3 integral0^2 x^2 y , dy , dx é o retângulo integral duplaD x^3 y , dx , dy = integral0^3 integral0^2 x^3 y , dy , dx :
integral duplaD x^2 y^2 , dx , dy = integral0^3 integral0^2 x^2 y^2 , dy , dx

Passo 8

Calculando cada integral:
  1. Para integral0^3 ( integral0^2 y , dy ) x^2 , dx = integral0^3 [ y^22 |0^2 ] x^2 , dx = integral0^3 2 x^2 , dx = 2 [ x^33 |0^3 ] = 2 cdot 9 = 18 :
integral0^3 ( integral0^2 y , dy ) x^3 , dx = integral0^3 2 x^3 , dx = 2 [ x^44 |0^3 ] = 2 cdot 814 = 812
  1. Para integral0^3 ( integral0^2 y^2 , dy ) x^2 , dx = integral0^3 [ y^33 |0^2 ] x^2 , dx = integral0^3 83 x^2 , dx = 83 [ x^33 |0^3 ] = 83 cdot 9 = 24 :
  1. Para :

Passo 9

Somando as integrais calculadas:
18 + 2 cdot 812 + 3 cdot 24 = 18 + 81 + 72 = 171
Multiplicando pelo raiz14 cdot 171 :

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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