Calcular , sendo o triângulo de vértices e , no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha , onde é o triângulo com vértices em , e , percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar cada reta que forma o triângulo e como calcular o diferencial de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os três lados do triângulo :
  1. De a .
  2. De a .
  3. De a .
Vamos parametrizar cada um desses segmentos para facilitar o cálculo da integral.

Passo 3

Segmento 1: a
Neste segmento, apenas a coordenada varia de 0 a 1, enquanto permanece 0.
Parametrização:
O diferencial de arco é:
Agora, substituímos na integral:

Passo 4

Segmento 2: a
Neste segmento, a coordenada permanece 1, e varia de 0 a 2.
Parametrização:
O diferencial de arco é:
Substituindo na integral:

Passo 5

Segmento 3: a
Para este segmento, tanto quanto variam. Vamos expressar em função de :
A inclinação da reta é:
Então, a equação da reta é:
Parametrização:
(Note que diminui de 1 a 0 para seguir o sentido anti-horário.)
O diferencial de arco é:
Substituindo na integral:

Resposta

Somando as contribuições de cada segmento:
Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície e acima do retângulo . Use uma soma de Riemann com e tome como ponto amostral o canto superior direito de cada sub-retângulo.
Determine o volume do sólido que está fora do cilindro , dentro do cilindro , abaixo do plano e contido no primeiro octante.
Calcule a curvatura das curvas com parametrizações abaixo em um ponto arbitrário
Encontre os vetores (tangente unitário), (normal unitário) e (binormal) no ponto indicado.