Calcular
, sendo
o triângulo de vértices
e
, no sentido anti-horário.
Passo 1
Vamos calcular a integral de linha
, onde
é o triângulo com vértices em
,
e
, percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar cada reta que forma o triângulo e como calcular o diferencial de arco
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os três lados do triângulo
:
- De
a . - De
a . - De
a .
Vamos parametrizar cada um desses segmentos para facilitar o cálculo da integral.
Passo 3
Segmento 1:
a
Neste segmento, apenas a coordenada
varia de 0 a 1, enquanto
permanece 0.
Parametrização:
O diferencial de arco
é:
Agora, substituímos na integral:
Passo 4
Segmento 2:
a
Neste segmento, a coordenada
permanece 1, e
varia de 0 a 2.
Parametrização:
O diferencial de arco
é:
Substituindo na integral:
Passo 5
Segmento 3:
a
Para este segmento, tanto
quanto
variam. Vamos expressar
em função de
:
A inclinação da reta é:
Então, a equação da reta é:
Parametrização:
(Note que
diminui de 1 a 0 para seguir o sentido anti-horário.)
O diferencial de arco
é:
Substituindo na integral:
Resposta
Somando as contribuições de cada segmento:
Portanto, o valor da integral
é
.