Calcular integralC 3 x y d s, sendo C o triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (1,2), no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha , onde é o triângulo com vértices em , e , percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar cada reta que forma o triângulo e como calcular o diferencial de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os três lados do triângulo :
  1. De a .
  2. De a .
  3. De a .
Vamos parametrizar cada um desses segmentos para facilitar o cálculo da integral.

Passo 3

Segmento 1: x = t, y = 0, onde t in [0,1] a ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz1^2 + 0^2 , dt = dt
Neste segmento, apenas a coordenada integral0^1 3xy , ds = integral0^1 3 cdot t cdot 0 cdot dt = 0 varia de 0 a 1, enquanto permanece 0.
Parametrização:
O diferencial de arco é:
Agora, substituímos na integral:

Passo 4

Segmento 2: x = 1, y = t, onde t in [0,2] a ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz0^2 + 1^2 , dt = dt
Neste segmento, a coordenada integral0^2 3xy , ds = integral0^2 3 cdot 1 cdot t cdot dt = 3 integral0^2 t , dt = 3 [ t^22 ]0^2 = 3 ( 42 - 0 ) = 3 cdot 2 = 6 permanece 1, e varia de 0 a 2.
Parametrização:
O diferencial de arco é:
Substituindo na integral:

Passo 5

Segmento 3: m = 2 - 01 - 0 = 2 a y = 2x
Para este segmento, tanto x = t, y = 2t, onde t in [1,0] quanto ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz1^2 + (2)^2 , dt = raiz5 , dt variam. Vamos expressar integral1^0 3xy , ds = integral0^1 3 cdot t cdot 2t cdot raiz5 , (-dt) = 3 cdot 2 raiz5 integral0^1 t^2 , dt = 6 raiz5 [ t^33 ]0^1 = 6 raiz5 ( 13 - 0 ) = 2 raiz5 em função de :
A inclinação da reta é:
Então, a equação da reta é:
Parametrização:
(Note que diminui de 1 a 0 para seguir o sentido anti-horário.)
O diferencial de arco é:
Substituindo na integral:

Resposta

Somando as contribuições de cada segmento:
0 + 6 + 2raiz5 = 6 + 2raiz5
Portanto, o valor da integral é .

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