Calcule a curvatura das curvas com parametrizações abaixo em um ponto arbitrário
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura de uma curva que está definida pela parametrização em um ponto qualquer . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função em relação a , que chamamos de . A primeira derivada nos dá a velocidade da curva.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos dá a aceleração da curva.
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular o produto vetorial de e , ou seja, . O produto vetorial nos ajuda a encontrar a direção perpendicular aos vetores, que é útil para a curvatura.
Passo 5
Vamos calcular a norma de , que é basicamente o comprimento do vetor velocidade.