Calcule a curvatura das curvas com parametrizações abaixo em um ponto arbitrário

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura de uma curva que está definida pela parametrização em um ponto qualquer . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função em relação a , que chamamos de . A primeira derivada nos dá a velocidade da curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada , que nos dá a aceleração da curva.

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o produto vetorial de e , ou seja, . O produto vetorial nos ajuda a encontrar a direção perpendicular aos vetores, que é útil para a curvatura.

Passo 5

Vamos calcular a norma de , que é basicamente o comprimento do vetor velocidade.

Passo 6

Agora, calculamos a norma do produto vetorial .

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva em um ponto arbitrário é:

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