Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície
e acima do retângulo
. Use uma soma de Riemann com
e tome como ponto amostral o canto superior direito de cada sub-retângulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo para estimar o volume de um sólido. A gente vai usar somas de Riemann, que são uma maneira de aproximar volumes usando retângulos menores. A superfície que define o sólido é
, e o retângulo base é
. Vamos dividir esse retângulo em 2 partes ao longo do eixo x e 2 ao longo do eixo y (m=2, n=2), totalizando 4 sub-retângulos. A gente vai usar o canto superior direito de cada sub-retângulo como ponto para calcular a altura do sólido nessa posição.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o retângulo
em sub-retângulos menores. Como m=2 e n=2, a largura de cada sub-retângulo em x é
e em y é
. Então, cada sub-retângulo tem largura 1.5 em x e 1.5 em y.
Passo 3
Agora, precisamos identificar os pontos superiores direitos de cada sub-retângulo, que serão usados para calcular a altura
. Os sub-retângulos são:
-
com ponto de amostragem em -
com ponto de amostragem em -
com ponto de amostragem em -
com ponto de amostragem em
Passo 4
Vamos calcular a altura
em cada ponto de amostragem usando a função
:
- Em
: - Em
: - Em
: - Em
:
Passo 5
Agora, para cada sub-retângulo, vamos calcular o volume aproximado multiplicando a altura
pela área do sub-retângulo (
):
Passo 6
Finalmente, somamos todos esses volumes para obter a estimativa total do volume do sólido:
Resposta
O volume estimado do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido que está fora do cilindro
, dentro do cilindro
, abaixo do plano
e contido no primeiro octante.
Seja a função
. Identifique todos os pontos do plano
que o valor da derivada da função seja igual
. Justifique sua resposta.
Calcular
, sendo
o triângulo de vértices
e
, no sentido anti-horário.
Calcule a curvatura das curvas com parametrizações abaixo em um ponto
arbitrário