Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z = x^2 + 4y e acima do retângulo R = {(x, y) | 0 <= x <= 3, 0 <= y <= 3}. Use uma soma de Riemann com m = 2, n = 2 e tome como ponto amostral o canto superior direito de cada sub-retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo para estimar o volume de um sólido. A gente vai usar somas de Riemann, que são uma maneira de aproximar volumes usando retângulos menores. A superfície que define o sólido é , e o retângulo base é . Vamos dividir esse retângulo em 2 partes ao longo do eixo x e 2 ao longo do eixo y (m=2, n=2), totalizando 4 sub-retângulos. A gente vai usar o canto superior direito de cada sub-retângulo como ponto para calcular a altura do sólido nessa posição.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o retângulo em sub-retângulos menores. Como m=2 e n=2, a largura de cada sub-retângulo em x é e em y é . Então, cada sub-retângulo tem largura 1.5 em x e 1.5 em y.

Passo 3

Agora, precisamos identificar os pontos superiores direitos de cada sub-retângulo, que serão usados para calcular a altura . Os sub-retângulos são:
  1. com ponto de amostragem em
  2. com ponto de amostragem em
  3. com ponto de amostragem em
  4. com ponto de amostragem em

Passo 4

Vamos calcular a altura em cada ponto de amostragem usando a função :
  1. Em :
  2. Em :
  3. Em :
  4. Em :

Passo 5

Agora, para cada sub-retângulo, vamos calcular o volume aproximado multiplicando a altura pela área do sub-retângulo ( ):

Passo 6

Finalmente, somamos todos esses volumes para obter a estimativa total do volume do sólido:

Resposta

O volume estimado do sólido é unidades cúbicas.

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