Encontre os vetores T (tangente unitário), N (normal unitário) e B (binormal) no ponto indicado.
vec{r}(t) = (cos(t), sen(t), ln(cos(t))), P = (1, 0, 0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pela função vetorial e um ponto específico nessa curva. O objetivo é encontrar três vetores importantes nesse ponto:
  • : o vetor tangente unitário,
  • T: o vetor normal unitário,
  • N: o vetor binormal.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e vetores unitários. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de t que corresponde ao ponto na curva vec(r)(t). Igualamos as componentes de vec(r)(t) a P:
Sabemos que quando (ou múltiplos de , mas consideraremos ). Vamos verificar as outras componentes:
Portanto, é o valor que nos interessa.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente T. O vetor tangente é a derivada da função vetorial vec(r)(t) em relação a t, normalizado (isto é, dividido pelo seu comprimento).
Primeiro, calculamos a derivada de vec(r)(t):
A derivada de é:
Então, temos:
No ponto :
Agora, normalizamos esse vetor. O comprimento de é:
Portanto, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o vetor normal N. Para isso, precisamos da segunda derivada da função vetorial vec(r)(t).
Calculamos a segunda derivada:
No ponto :
O vetor normal é obtido removendo a componente na direção de N e normalizando o resultado. Como T, a projeção de em é zero. Portanto, T é simplesmente a normalização de N.
Calculamos o comprimento de :
Então, o vetor normal unitário é:
N

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar o vetor binormal B. O vetor binormal é o produto vetorial entre T e N.
Calculamos o produto vetorial:
Expandindo o determinante:
Simplificando:

Resposta

Os vetores no ponto são:

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