Encontre os vetores (tangente unitário), (normal unitário) e (binormal) no ponto indicado.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pela função vetorial e um ponto específico nessa curva. O objetivo é encontrar três vetores importantes nesse ponto:
  • : o vetor tangente unitário,
  • : o vetor normal unitário,
  • : o vetor binormal.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e vetores unitários. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto na curva . Igualamos as componentes de a :
Sabemos que quando (ou múltiplos de , mas consideraremos ). Vamos verificar as outras componentes:
Portanto, é o valor que nos interessa.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente . O vetor tangente é a derivada da função vetorial em relação a , normalizado (isto é, dividido pelo seu comprimento).
Primeiro, calculamos a derivada de :
A derivada de é:
Então, temos:
No ponto :
Agora, normalizamos esse vetor. O comprimento de é:
Portanto, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o vetor normal . Para isso, precisamos da segunda derivada da função vetorial .
Calculamos a segunda derivada:
No ponto :
O vetor normal é obtido removendo a componente na direção de e normalizando o resultado. Como , a projeção de em é zero. Portanto, é simplesmente a normalização de .
Calculamos o comprimento de :
Então, o vetor normal unitário é:

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar o vetor binormal . O vetor binormal é o produto vetorial entre e .
Calculamos o produto vetorial:
Expandindo o determinante:
Simplificando:

Resposta

Os vetores no ponto são:

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