Determine o volume do sólido que está fora do cilindro , dentro do cilindro , abaixo do plano e contido no primeiro octante.

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo de volume envolvendo cilindros e planos no espaço tridimensional. O enunciado nos pede para encontrar o volume do sólido que está fora do cilindro , dentro do cilindro , abaixo do plano e contido no primeiro octante. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas e a definição de regiões de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região em que precisamos trabalhar. Temos dois cilindros:
  1. Cilindro 1: — um cilindro circular com raio 1, centrado na origem.
  2. Cilindro 2: — outro cilindro circular com raio 1, mas deslocado 1 unidade no eixo x.
Queremos a região que está fora do Cilindro 1 e dentro do Cilindro 2, dentro do primeiro octante (onde , , e são positivos) e abaixo do plano .

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para a região no plano . Precisamos encontrar os pontos de intersecção dos dois cilindros para entender os limites da nossa região.
Igualando as equações dos cilindros:
Simplificando:
Portanto, os cilindros se intersectam quando . No primeiro octante, varia de 0 a 1.

Passo 4

Para definir a região de integração, observamos que para , o cilindro 2 está à direita do cilindro 1, mas como queremos estar fora do cilindro 1 e dentro do cilindro 2, nossos limites para serão de até .
Para , a situação se inverte, e os limites de mudam.

Passo 5

A altura do sólido em z é limitada pelo plano . Portanto, para cada ponto na região , varia de 0 a 1.
Assim, a integral para o volume será:
Onde e são as funções que definem os limites da região .

Passo 6

Dividimos a integral em duas partes devido à interseção em :

Passo 7

Resolvendo as integrais:
Primeira integral:
Segunda integral:
Essas integrais podem ser resolvidas usando substituições trigonométricas ou métodos numéricos.

Passo 8

Calculando as integrais, obtemos:
ÁãÁã
Após realizar os cálculos, encontramos que o volume é:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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