Determine o volume do sólido que está fora do cilindro
, dentro do cilindro
, abaixo do plano
e contido no primeiro octante.
Passo 1
Vamos resolver um problema de cálculo de volume envolvendo cilindros e planos no espaço tridimensional. O enunciado nos pede para encontrar o volume do sólido que está fora do cilindro
, dentro do cilindro
, abaixo do plano
e contido no primeiro octante. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas e a definição de regiões de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região em que precisamos trabalhar. Temos dois cilindros:
- Cilindro 1:
— um cilindro circular com raio 1, centrado na origem. - Cilindro 2:
— outro cilindro circular com raio 1, mas deslocado 1 unidade no eixo x.
Queremos a região que está fora do Cilindro 1 e dentro do Cilindro 2, dentro do primeiro octante (onde
,
, e
são positivos) e abaixo do plano
.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para a região
no plano
. Precisamos encontrar os pontos de intersecção dos dois cilindros para entender os limites da nossa região.
Igualando as equações dos cilindros:
Simplificando:
Portanto, os cilindros se intersectam quando
. No primeiro octante,
varia de 0 a 1.
Passo 4
Para definir a região de integração, observamos que para
, o cilindro 2 está à direita do cilindro 1, mas como queremos estar fora do cilindro 1 e dentro do cilindro 2, nossos limites para
serão de
até
.
Para
, a situação se inverte, e os limites de
mudam.
Passo 5
A altura do sólido em z é limitada pelo plano
. Portanto, para cada ponto
na região
,
varia de 0 a 1.
Assim, a integral para o volume
será:
Onde
e
são as funções que definem os limites da região
.
Passo 6
Dividimos a integral em duas partes devido à interseção em
:
Passo 7
Resolvendo as integrais:
Primeira integral:
Segunda integral:
Essas integrais podem ser resolvidas usando substituições trigonométricas ou métodos numéricos.
Passo 8
Calculando as integrais, obtemos:
Após realizar os cálculos, encontramos que o volume
é:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Seja a função
. Identifique todos os pontos do plano
que o valor da derivada da função seja igual
. Justifique sua resposta.
Seja a função
, sendo
. Aválie as características de analiticidade da função. Caso seja possível derivar a função, escolha um ponto adequado do plano z e calcule o valor da derivada no ponto escolhido. Justifique sua resposta.
Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície
e acima do retângulo
. Use uma soma de Riemann com
e tome como ponto amostral o canto superior direito de cada sub-retângulo.
Calcular
, sendo
o triângulo de vértices
e
, no sentido anti-horário.