Calcular integralC(y d x+(x+2 y) d y) de (1,0) a (0,1), onde C é o arco de circunferência x=cos (t) e y=sen(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de um caminho específico. Aqui, o caminho C é um arco de circunferência que vai do ponto (1,0) até (0,1). A função que vamos integrar é y dx + (x + 2y) dy. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o arco da circunferência e usar a definição de integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a circunferência. Sabemos que a equação paramétrica do círculo unitário é:
x = cos(t) e y = sin(t)
onde t é o parâmetro que varia de 0 a pi2 para ir de (1,0) a (0,1).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t:
dx = dxdt dt = -sin(t) dt
dy = dydt dt = cos(t) dt

Passo 4

Vamos substituir x, y, dx e dy na integral original:
integralC (y dx + (x + 2y) dy) = integral0^pi2 [ sin(t) cdot (-sin(t) dt) + (cos(t) + 2sin(t)) cdot cos(t) dt ]

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
sin(t) cdot (-sin(t)) = -sin^2(t)
(cos(t) + 2sin(t)) cdot cos(t) = cos^2(t) + 2sin(t)cos(t)
Então, a integral fica:
integral0^pi2 [-sin^2(t) + cos^2(t) + 2sin(t)cos(t)] dt

Passo 6

Vamos combinar os termos semelhantes:
-sin^2(t) + cos^2(t) = cos(2t) (usando a identidade trigonométrica) é
2sin(t)cos(t) = sin(2t)
Portanto, a integral se torna:
integral0^pi2 [ cos(2t) + sin(2t) ] dt

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral cos(2t) dt = 12 sin(2t) + C
integral sin(2t) dt = -12 cos(2t) + C
Aplicando os limites de 0 a pi2:
[ 12 sin(2t) - 12 cos(2t) ]0^pi2

Passo 8

Vamos calcular nos limites:
Para t = pi2:
12 sin(pi) - 12 cos(pi) = 0 - 12(-1) = 12
Para t = 0:
12 sin(0) - 12 cos(0) = 0 - 12(1) = -12
Subtraindo:
12 - (-12) = 1

Resposta

A integral vale 1.

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