Calcular
de
a
, onde
é o arco de circunferência
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de um caminho específico. Aqui, o caminho
é um arco de circunferência que vai do ponto
até
. A função que vamos integrar é
. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o arco da circunferência e usar a definição de integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a circunferência. Sabemos que a equação paramétrica do círculo unitário é:
onde
é o parâmetro que varia de
a
para ir de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
,
,
e
na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos combinar os termos semelhantes:
Portanto, a integral se torna:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 8
Vamos calcular nos limites:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A integral vale
.
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Calcule
.
Calcule
.
Calcule
, com
e
a circunferência de centro na origem e raio 3 , orientada no sentido anti-horário.