Calcular de a , onde é o arco de circunferência e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de um caminho específico. Aqui, o caminho é um arco de circunferência que vai do ponto até . A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o arco da circunferência e usar a definição de integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a circunferência. Sabemos que a equação paramétrica do círculo unitário é:
onde é o parâmetro que varia de a para ir de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Vamos substituir , , e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos combinar os termos semelhantes:
é
Portanto, a integral se torna:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Aplicando os limites de a :

Passo 8

Vamos calcular nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A integral vale .

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Calcule .
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parametrizada por .
Calcule , com e a circunferência de centro na origem e raio 3 , orientada no sentido anti-horário.