Calcule integral1^2 integral0^y integral0^raiz3 z z /(x^2+y^2) d x d z d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla:
integral1^2 integral0^y integral0^raiz3 z zx^2+y^2 , dx , dz , dy
Esse tipo de integral pertence ao estudo do Cálculo Multivariável, especificamente integrais múltiplas. Vamos precisar entender como resolver integrais iteradas, ou seja, integrar uma função em várias variáveis, uma de cada vez, seguindo os limites de integração dados. Vamos resolver passo a passo para facilitar!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a integral0^raiz3 z zx^2+y^2 , dx :
integral0^raiz3 z zx^2+y^2 , dx = zy [ arctan(xy) ]0^raiz3 z
Aqui, zy ( arctan(raiz3 zy) - arctan(0) ) = zy arctan(raiz3 zy) e são constantes em relação a . A integral é conhecida e resulta em . Aplicando isso aqui:
Calculando nos limites:

Passo 3

Agora, nossa integral ficou reduzida para:
integral1^2 integral0^y zy arctan(raiz3 zy) , dz , dy
Vamos simplificar um pouco tirando integral1^2 1y ( integral0^y z arctan(raiz3 zy) , dz ) dy para fora:
u = raiz3 zy Rightarrow z = y uraiz3 Rightarrow dz = yraiz3 du
Para resolver a integral interna em integral0^raiz3 ( y uraiz3 ) arctan(u) cdot yraiz3 , du = y^23 integral0^raiz3 u arctan(u) , du , vamos usar uma técnica de substituição. Seja:
Quando , ; e quando , . Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, precisamos resolver:
integral0^raiz3 u arctan(u) , du
Vamos usar integração por partes, onde:
v = arctan(u) dw = u , du
Então, derivando e integrando:
dv = 11 + u^2 , du e w = u^22
Aplicando a fórmula de integração por partes ( integral u arctan(u) , du = u^22 arctan(u) - integral u^22(1 + u^2) , du ):
integral u^22(1 + u^2) , du = 12 integral (1 - 11 + u^2) du = 12 ( u - arctan(u) ) + C
Simplificando a segunda integral:
integral u arctan(u) , du = u^22 arctan(u) - 12 ( u - arctan(u) ) + C
Então, voltando:
[ (raiz3)^22 arctan(raiz3) - 12 ( raiz3 - arctan(raiz3) ) ] - [ 0 - 0 ]
Avaliando de 0 a 32 cdot pi3 - 12 ( raiz3 - pi3 ) = pi2 - raiz32 + pi6 = 2pi3 - raiz32 :
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, voltando à integral original:
integral1^2 1y cdot y^23 ( 2pi3 - raiz32 ) dy = 13 ( 2pi3 - raiz32 ) integral1^2 y , dy
Calculando a integral em integral1^2 y , dy = [ y^22 ]1^2 = 42 - 12 = 32 :
13 ( 2pi3 - raiz32 ) cdot 32 = 12 ( 2pi3 - raiz32 ) = pi3 - raiz34
Multiplicando tudo:

Resposta

A integral tripla vale:
pi3 - raiz34

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