Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla:
Esse tipo de integral pertence ao estudo do Cálculo Multivariável, especificamente integrais múltiplas. Vamos precisar entender como resolver integrais iteradas, ou seja, integrar uma função em várias variáveis, uma de cada vez, seguindo os limites de integração dados. Vamos resolver passo a passo para facilitar!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a
:
Aqui,
e
são constantes em relação a
. A integral
é conhecida e resulta em
. Aplicando isso aqui:
Calculando nos limites:
Passo 3
Agora, nossa integral ficou reduzida para:
Vamos simplificar um pouco tirando
para fora:
Para resolver a integral interna em
, vamos usar uma técnica de substituição. Seja:
Quando
,
; e quando
,
. Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, precisamos resolver:
Vamos usar integração por partes, onde:
Então, derivando e integrando:
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Simplificando a segunda integral:
Então, voltando:
Avaliando de 0 a
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, voltando à integral original:
Calculando a integral em
:
Multiplicando tudo:
Resposta
A integral tripla vale: