Calcule
, com
e
a circunferência de centro na origem e raio 3 , orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de linha
, onde
. A curva
é uma circunferência com centro na origem e raio 3, orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar usar parametrização de curvas e calcular integrais vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a circunferência
. Como é uma circunferência de raio 3, podemos escrever:
Aqui,
é o ângulo que varia de 0 a
para percorrer toda a circunferência.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que é o vetor diferencial ao longo da curva. Derivando
e
em relação a
:
Então,
.
Passo 4
Substituímos a parametrização na função
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Simplificando cada termo:
Passo 6
Integrando de
a
:
Vamos resolver termo a termo:
-
: - Substituindo
, . - Integral fica
avaliado de a , que dá 0.
- Substituindo
-
: - Como
é uma função ímpar em um intervalo completo de a , a integral também dá 0.
- Como
-
: - Integral de
de a é avaliado de a , que também resulta em 0.
- Integral de
Resposta
A integral
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcular
de
a
, onde
é o arco de circunferência
e
.
Calcule a integral de linha de
sobre
.
Sejam
e o caminho parametrizado por
. Calcule a integral de linha de
sobre o dado caminho.