Calcule integralC F cdot d s, com F(x, y, z)=(x^2-y^2) i+j e C a circunferência de centro na origem e raio 3 , orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de linha , onde . A curva é uma circunferência com centro na origem e raio 3, orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar usar parametrização de curvas e calcular integrais vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a circunferência x = 3 costheta, y = 3 sintheta, theta in [0, 2pi] . Como é uma circunferência de raio 3, podemos escrever:
Aqui, é o ângulo que varia de 0 a para percorrer toda a circunferência.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dx = -3 sintheta, dtheta, dy = 3 costheta, dtheta , que é o vetor diferencial ao longo da curva. Derivando e em relação a :
Então, .

Passo 4

Substituímos a parametrização na função F(x, y, z) = (x^2 - y^2),i + j = (9 cos^2theta - 9 sin^2theta),i + j :
F = 9(cos^2theta - sin^2theta),i + j
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot ds = [9(cos^2theta - sin^2theta)](-3 sintheta) + [1](3 costheta) :
-27 cos^2theta sintheta + 27 sin^3theta + 3 costheta
Simplificando cada termo:

Passo 6

Integrando de integral0^2pi (-27 cos^2theta sintheta + 27 sin^3theta + 3 costheta) , dtheta a :
Vamos resolver termo a termo:
  1. :
    • Substituindo , .
    • Integral fica avaliado de a , que dá 0.
  2. :
    • Como é uma função ímpar em um intervalo completo de a , a integral também dá 0.
  3. :
    • Integral de de a é avaliado de a , que também resulta em 0.

Resposta

A integral é igual a 0.

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