Calcule , com e a circunferência de centro na origem e raio 3 , orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de linha , onde . A curva é uma circunferência com centro na origem e raio 3, orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar usar parametrização de curvas e calcular integrais vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a circunferência . Como é uma circunferência de raio 3, podemos escrever:
Aqui, é o ângulo que varia de 0 a para percorrer toda a circunferência.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar , que é o vetor diferencial ao longo da curva. Derivando e em relação a :
Então, .

Passo 4

Substituímos a parametrização na função :
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :
Simplificando cada termo:

Passo 6

Integrando de a :
Vamos resolver termo a termo:
  1. :
    • Substituindo , .
    • Integral fica avaliado de a , que dá 0.
  2. :
    • Como é uma função ímpar em um intervalo completo de a , a integral também dá 0.
  3. :
    • Integral de de a é avaliado de a , que também resulta em 0.

Resposta

A integral é igual a 0.

Exercícios relacionados

parametrizada por .
Calcular de a , onde é o arco de circunferência e .
Calcule a integral de linha de sobre .
Sejam e o caminho parametrizado por . Calcule a integral de linha de sobre o dado caminho.