integralC x sen(z) d s, C parametrizada por r(t)=(cos (t), sen(t), t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é . A curva está parametrizada por com variando de a . Vamos precisar usar o conceito de integração ao longo de uma curva no espaço, onde representa um elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar tudo em termos de . A curva está dada por , então:

Passo 3

Agora vamos encontrar r,'(t) = ( -sin(t), cos(t), 1 ) , que é o diferencial de comprimento. Para isso, calculamos a derivada de |r,'(t)| = raiz(-sin(t))^2 + (cos(t))^2 + (1)^2 = raizsin^2(t) + cos^2(t) + 1 = raiz1 + 1 = raiz2 em relação a :
O módulo de é:
Então, .

Passo 4

Substituímos integralC x sin(z) , ds = integral0^2pi cos(t) sin(t) cdot raiz2 , dt = raiz2 integral0^2pi cos(t) sin(t) , dt , e na integral original:

Passo 5

Para resolver a integral cos(t) sin(t) = 12 sin(2t) , podemos usar a identidade trigonométrica:
raiz2 cdot 12 integral0^2pi sin(2t) , dt = raiz22 integral0^2pi sin(2t) , dt
Assim, a integral fica:

Passo 6

Integrando integral sin(2t) , dt = -12 cos(2t) + C :
[ -12 cos(2t) ]0^2pi = -12 [cos(4pi) - cos(0)] = -12 [1 - 1] = 0
Aplicando os limites de a :

Resposta

A integral vale 0.

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