Calcule integral0^pi / 2 integralz^pi / 2 integral0^x z cos (y / z) d y d x d z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla que você trouxe: integral0^pi / 2 integralz^pi / 2 integral0^x z cos (yz) dy , dx , dz. Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar integrar passo a passo, começando pela integração mais interna até a mais externa.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é em relação a y: integral0^x z cos (yz) dy. Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar u = yz, então du = 1z dy ou dy = z du.

Passo 3

Agora, substituímos na integral:
integral0^x z cos (yz) dy = integral0^x cos(u) cdot z du = z integral0^x cos(u) du
A integral de cos(u) em relação a u é sin(u), então:
z [sin(u)]0^x = z (sin(x) - sin(0)) = z sin(x)

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral do meio:
integralz^pi / 2 z sin(x) dx
Aqui, z é tratado como uma constante em relação a x. A integral de sin(x) em relação a x é - cos(x), então:
z [-cos(x)]z^pi / 2 = z (-cos(pi2) + cos(z)) = z (0 + cos(z)) = z cos(z)

Passo 5

Por fim, substituímos esse resultado na integral mais externa:
integral0^pi / 2 z cos(z) dz
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde:
u = z Rightarrow du = dz
dv = cos(z) dz Rightarrow v = sin(z)
Aplicando a fórmula de integração por partes:
uv - integral v du = z sin(z) - integral sin(z) dz = z sin(z) + cos(z) + C
Agora avaliamos de 0 a pi/2:
[ z sin(z) + cos(z) ]0^pi / 2 = ( pi2 cdot 1 + 0 ) - ( 0 + 1 ) = pi2 - 1

Resposta

O valor da integral é pi2 - 1.

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