Suponha que a temperatura
num ponto
é dada por
. Em que direção e sentido
cresce mais rapidamente no ponto
? Qual a taxa máxima de crescimento neste ponto?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em qual direção e sentido a temperatura
aumenta mais rápido no ponto
. Além disso, também queremos saber qual é a taxa máxima de crescimento dessa temperatura nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar cálculo vetorial, especialmente o conceito de gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função temperatura
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
A direção em que
cresce mais rapidamente é dada pelo vetor gradiente, mas para termos uma direção pura, vamos normalizar esse vetor (ou seja, transformar em um vetor unitário):
Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
Então, a direção unitária é:
Resposta
No ponto
, a temperatura
cresce mais rapidamente na direção do vetor unitário
. A taxa máxima de crescimento da temperatura nesse ponto é
.
Exercícios relacionados
Calcule a seguinte integral tripla:
Seja
o sólido limitado pelo cilindro parabólico
e os planos
e
.
Faça um esboço de
. Seja
o sólido limitado pelo cilindro parabólico
e os planos
e
.
Calcular
onde
é a interseção do paraboloide
com o plano
sendo que o sentido do percurso de
deve ser tal que a projeção de
no plano xy seja anti-horário.
Classifique as equações diferenciais a seguir dizendo se são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
(a)
(g)
(b)
(h)
©
(d)
(i)
(e)
(j)
(f)
(a)
(g)
(b)
(h)
©
(d)
(i)
(e)
(j)
(f)