Suponha que a temperatura T num ponto P(x, y, z) é dada por T(x, y, z) = 2*x^2 - y^2 + 4*z^2. Em que direção e sentido T cresce mais rapidamente no ponto 1, -2, 1 ? Qual a taxa máxima de crescimento neste ponto?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em qual direção e sentido a temperatura aumenta mais rápido no ponto . Além disso, também queremos saber qual é a taxa máxima de crescimento dessa temperatura nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar cálculo vetorial, especialmente o conceito de gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função temperatura . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

A direção em que cresce mais rapidamente é dada pelo vetor gradiente, mas para termos uma direção pura, vamos normalizar esse vetor (ou seja, transformar em um vetor unitário):
Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
Então, a direção unitária é:
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Resposta

No ponto , a temperatura cresce mais rapidamente na direção do vetor unitário . A taxa máxima de crescimento da temperatura nesse ponto é .

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