Calcule a seguinte integral tripla:
integral triplaE y d V
Seja E o sólido limitado pelo cilindro parabólico z=1-x^2 e os planos z=0, y=0 e x+y=1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla , onde é o sólido limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , e . Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de integrais triplas e determinar os limites de integração apropriados para as variáveis , e .

Passo 2

Vamos começar identificando os limites para . O sólido está entre e . Portanto, varia de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para . O sólido está limitado por e . Para um valor fixo de , varia de 0 a .

Passo 4

Finalmente, precisamos encontrar os limites para . Observando a interseção dos planos e do cilindro parabólico, percebemos que varia de a .

Passo 5

Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla na ordem integral-1^1 integral0^1 - x integral0^1 - x^2 y , dz , dy , dx :

Passo 6

Vamos resolver a integral em relação a integral0^1 - x^2 y , dz = y cdot z |0^1 - x^2 = y (1 - x^2) primeiro:

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
integral-1^1 integral0^1 - x y (1 - x^2) , dy , dx

Passo 8

Agora, resolvemos a integral em relação a integral0^1 - x y (1 - x^2) , dy = (1 - x^2) cdot y^22 |0^1 - x = (1 - x^2) cdot (1 - x)^22 :

Passo 9

Substituindo de volta, a integral fica:
12 integral-1^1 (1 - x^2)(1 - x)^2 , dx

Passo 10

Expandindo (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 :
12 integral-1^1 (1 - x^2)(1 - 2x + x^2) , dx
Então, a integral se torna:

Passo 11

Multiplicando os termos:
(1 - x^2)(1 - 2x + x^2) = 1 - 2x + x^2 - x^2 + 2x^3 - x^4 = 1 - 2x + 0x^2 + 2x^3 - x^4
Portanto, a integral fica:
12 integral-1^1 (1 - 2x + 2x^3 - x^4) , dx

Passo 12

Vamos integrar termo a termo:
integral-1^1 1 , dx = 2
integral-1^1 -2x , dx = 0 (porque a função é ímpar) çãéí
integral-1^1 2x^3 , dx = 0 (também ímpar) éí
integral-1^1 -x^4 , dx = -25

Passo 13

Somando todos os resultados:
2 + 0 + 0 - 25 = 105 - 25 = 85
Multiplicando pela constante 12 cdot 85 = 45 :

Resposta

A integral tripla é igual a .

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