Seja o sólido limitado pelo cilindro parabólico e os planos e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla , onde é o sólido limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , e . Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de integrais triplas e determinar os limites de integração apropriados para as variáveis , e .
Passo 2
Vamos começar identificando os limites para . O sólido está entre e . Portanto, varia de 0 a .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para . O sólido está limitado por e . Para um valor fixo de , varia de 0 a .
Passo 4
Finalmente, precisamos encontrar os limites para . Observando a interseção dos planos e do cilindro parabólico, percebemos que varia de a .
Passo 5
Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla na ordem :
Passo 6
Vamos resolver a integral em relação a primeiro:
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
integral-1^1 integral0^1 - x y (1 - x^2) , dy , dx
Passo 8
Agora, resolvemos a integral em relação a integral0^1 - x y (1 - x^2) , dy = (1 - x^2) cdot y^22 |0^1 - x = (1 - x^2) cdot (1 - x)^22 :