Calcule a seguinte integral tripla:
Seja o sólido limitado pelo cilindro parabólico e os planos e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla , onde é o sólido limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , e . Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de integrais triplas e determinar os limites de integração apropriados para as variáveis , e .

Passo 2

Vamos começar identificando os limites para . O sólido está entre e . Portanto, varia de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para . O sólido está limitado por e . Para um valor fixo de , varia de 0 a .

Passo 4

Finalmente, precisamos encontrar os limites para . Observando a interseção dos planos e do cilindro parabólico, percebemos que varia de a .

Passo 5

Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla na ordem :

Passo 6

Vamos resolver a integral em relação a primeiro:

Passo 7

Substituindo na integral, temos:

Passo 8

Agora, resolvemos a integral em relação a :

Passo 9

Substituindo de volta, a integral fica:

Passo 10

Expandindo :
Então, a integral se torna:

Passo 11

Multiplicando os termos:
Portanto, a integral fica:

Passo 12

Vamos integrar termo a termo:
çãéí
éí

Passo 13

Somando todos os resultados:
Multiplicando pela constante :

Resposta

A integral tripla é igual a .

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