Calcular integrando por partes: integral(x cdot raiz2+x) d x

Passo 1

Então, a gente tem o exercício de calcular a integral por partes de . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar quais partes da função vão ser e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Precisamos escolher e de forma que a integral resultante seja mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x Rightarrow du = dx
dv = raiz2 + x , dx Rightarrow v = integral raiz2 + x , dx
Agora, precisamos calcular .

Passo 4

Para calcular v = integral raiz2 + x , dx , fazemos a integral:
v = integral raizt , dt = 23 t^3/2 + C = 23 (2 + x)^3/2 + C
Vamos fazer uma substituição simples. Deixe , então . A integral fica:

Passo 5

Agora, substituímos integral(x cdot raiz2 + x) , dx = u cdot v - integral v , du , = x cdot 23 (2 + x)^3/2 - integral 23 (2 + x)^3/2 , dx , na fórmula da integração por partes:

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão:
= 23 x (2 + x)^3/2 - 23 integral (2 + x)^3/2 , dx
Precisamos resolver a integral .

Passo 7

Para resolver t = 2 + x Rightarrow dt = dx , fazemos novamente uma substituição:
integral t^3/2 , dt = 25 t^5/2 + C = 25 (2 + x)^5/2 + C
A integral passa a ser:

Passo 8

Substituímos de volta na expressão anterior:
23 x (2 + x)^3/2 - 23 cdot 25 (2 + x)^5/2 + C
Simplificando os coeficientes:
= 23 x (2 + x)^3/2 - 415 (2 + x)^5/2 + C

Resposta

Portanto, a integral 23 x (2 + x)^3/2 - 415 (2 + x)^5/2 + C é igual a:

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