Encontre o trabalho realizado pelo campo de força
em uma partícula que se move sobre o arco do círculo de no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o trabalho realizado por um campo de força dado por em uma partícula que se move sobre um arco de círculo , indo do ponto para no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho através de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Aqui, é o campo de força e é um elemento infinitesimal do deslocamento ao longo do caminho.

Passo 3

Vamos parametrizar o caminho . Como o movimento é sobre o círculo , podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
Onde varia de a (já que vamos de a ).

Passo 4

Agora, vamos encontrar a expressão para . Derivando e em relação a :
Então,

Passo 5

Substituindo e na expressão do campo de força:
Aqui, usamos que .

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Calculando as integrais:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é unidades de trabalho.

Exercícios relacionados

Calcular integrando por partes:
Calcule a integral de linha , onde é o segmento de reta de a
.
Calcular integrando por partes:
Calcular utilizando el método de sustitución (cambio de variable):