Encontre o trabalho realizado pelo campo de força
em uma partícula que se move sobre o arco do círculo
de
no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o trabalho realizado por um campo de força dado por
em uma partícula que se move sobre um arco de círculo
, indo do ponto
para
no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho através de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha:
Aqui,
é o campo de força e
é um elemento infinitesimal do deslocamento ao longo do caminho.
Passo 3
Vamos parametrizar o caminho
. Como o movimento é sobre o círculo
, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
Onde
varia de
a
(já que vamos de
a
).
Passo 4
Agora, vamos encontrar a expressão para
. Derivando
e
em relação a
:
Então,
Passo 5
Substituindo
e
na expressão do campo de força:
Aqui, usamos que
.
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Calculando as integrais:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é
unidades de trabalho.
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Calcular integrando por partes:
Calcule a integral de linha
, onde
é o segmento de reta de
a
.
Calcular integrando por partes:
Calcular utilizando el método de sustitución (cambio de variable):