Calcular integrando por partes: integral x d xcos ^2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral u , dv = uv - integral v , du . Esse exercício envolve o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Para resolver, vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes:
Aqui, vamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar u = x Rightarrow du = dx e dv = dxcos^2 x Rightarrow v = integral dxcos^2 x . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples ao derivar, e como a parte que conseguimos integrar facilmente. No nosso caso:
Aqui, para encontrar , precisamos integrar .

Passo 3

Sabemos que v = integral sec^2 x , dx = tan x é igual a u = x Rightarrow du = dx , e a integral de dv = dxcos^2 x Rightarrow v = tan x é uma função bem conhecida:
Então, agora temos:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x , dxcos^2 x = x cdot tan x - integral tan x cdot dx
Agora, precisamos resolver a integral .

Passo 5

A integral de integral tan x , dx = -ln |cos x| + C também é conhecida. Sabemos que:
integral x , dxcos^2 x = x cdot tan x - (-ln |cos x|) + C
Onde x cdot tan x + ln |cos x| + C é a constante de integração. Então, substituindo de volta:
Simplificando os sinais:

Resposta

Portanto, a integral x cdot tan x + ln |cos x| + C é igual a:

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