Calcular utilizando el método de sustitución (cambio de variable): integral(raizx^3+2) cdot x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que pede para a gente usar o método de substituição, também conhecido como mudança de variável. O enunciado é:
integral(raizx^3+2) cdot x^2 , dx
Aqui, vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a integral e encontrar a antiderivada.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma parte da integral para substituir por uma nova variável, geralmente aquela que, quando derivada, facilita a expressão. Vamos definir:
u = x^3 + 2
Agora, precisamos achar a derivada de dudx = 3x^2 em relação a du = 3x^2 , dx :
Isso significa que:

Passo 3

A integral original tem x^2 , dx = du3 , que aparece na expressão que encontramos para integral raizu cdot du3 . Vamos reorganizar para substituir:
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Simplificando a constante 13 integral raizu , du que pode sair da integral:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
A integral de é uma potência de . Lembrando que:

Passo 5

Aplicando a regra de potência à nossa integral:
13 cdot u^3232 + C = 13 cdot 23 u^32 + C = 29 u^32 + C

Passo 6

Agora, voltamos à variável original 29 (x^3 + 2)^32 + C , substituindo de volta:

Resposta

A integral resolve para:
29 (x^3 + 2)^32 + C

Exercícios relacionados