Encontre a área da região sombreada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a área da região sombreada entre duas curvas dadas em coordenadas polares:
e
. Vamos usar conceitos de geometria analítica e integração em coordenadas polares para resolver isso. Precisamos entender como essas curvas se comportam e onde elas se encontram para determinar os limites da nossa área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Isso acontece quando
. Então, temos a equação:
Para resolver isso, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem essa igualdade. Geralmente, isso é feito numericamente ou graficamente, mas para simplificar, vamos supor que o ponto de interseção ocorre em
próximo de 1 radiano.
Passo 3
Vamos esboçar as curvas para entender melhor. A curva
é uma hélice que se estende indefinidamente à medida que
aumenta. A outra curva,
, é uma espécie de círculo polar deslocado. Visualizando essas curvas, percebemos que elas se cruzam em um ponto específico que determinaremos para os limites da integração.
Passo 4
Para encontrar a área entre duas curvas em coordenadas polares, usamos a fórmula:
Aqui,
e
são os limites de
onde as curvas se intersectam,
é a função de raio da curva que está mais longe do ponto de origem, e
é a que está mais próxima.
Passo 5
Identificamos que
está sempre maior que
para os valores de
de 0 a
. Portanto,
e
.
Passo 6
Determinar os limites de integração
e
. Supondo que a interseção ocorre quando
, ajustamos isso para o intervalo adequado onde
varia de 0 a
para cobrir toda a área sombreada.
Passo 7
Agora, substituímos na fórmula da área:
Passo 8
Expandindo
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Integrar termo a termo:
Passo 10
Avaliar a integral nos limites de 0 a
:
Simplificando:
Passo 11
Finalmente, multiplicamos por
:
Resposta
A área da região sombreada é
unidades de área.
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Calcular utilizando el método de sustitución (cambio de variable):
Calcular integrando por partes:
(2,0) Mostre que o limite
nāo existe.
Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales: