Encontre a área da região sombreada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a área da região sombreada entre duas curvas dadas em coordenadas polares: e . Vamos usar conceitos de geometria analítica e integração em coordenadas polares para resolver isso. Precisamos entender como essas curvas se comportam e onde elas se encontram para determinar os limites da nossa área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Isso acontece quando . Então, temos a equação:
Para resolver isso, precisamos encontrar os valores de que satisfazem essa igualdade. Geralmente, isso é feito numericamente ou graficamente, mas para simplificar, vamos supor que o ponto de interseção ocorre em próximo de 1 radiano.

Passo 3

Vamos esboçar as curvas para entender melhor. A curva é uma hélice que se estende indefinidamente à medida que aumenta. A outra curva, , é uma espécie de círculo polar deslocado. Visualizando essas curvas, percebemos que elas se cruzam em um ponto específico que determinaremos para os limites da integração.

Passo 4

Para encontrar a área entre duas curvas em coordenadas polares, usamos a fórmula:
Aqui, e são os limites de onde as curvas se intersectam, é a função de raio da curva que está mais longe do ponto de origem, e é a que está mais próxima.

Passo 5

Identificamos que está sempre maior que para os valores de de 0 a . Portanto, e .

Passo 6

Determinar os limites de integração e . Supondo que a interseção ocorre quando , ajustamos isso para o intervalo adequado onde varia de 0 a para cobrir toda a área sombreada.

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula da área:

Passo 8

Expandindo :
Então, a integral fica:

Passo 9

Integrar termo a termo:

Passo 10

Avaliar a integral nos limites de 0 a :
Simplificando:

Passo 11

Finalmente, multiplicamos por :

Resposta

A área da região sombreada é unidades de área.

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