Calcular integrando por partes:
Passo 1
Vamos resolver o integral
usando a técnica de integração por partes. A integração por partes é uma ferramenta útil quando temos um produto de duas funções, e queremos simplificar a integral. Para isso, precisamos identificar quais partes da expressão escolheremos como
e
. Neste caso, vamos precisar de derivar uma função e integrar a outra.
Passo 2
Primeiro, escolhemos qual função será
e qual será
. Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples quando derivada, e
como a função que é fácil de integrar.
Vamos escolher:
-
(porque a derivada de é mais simples) -
(vamos integrar esta parte)
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
.
Derivando
:
Integrando
para encontrar
:
No entanto, a integral de
não tem uma antiderivada em termos de funções elementares. Isso indica que talvez a integração por partes não seja a melhor abordagem direta aqui.
Passo 4
Diante disso, vamos tentar uma substituição que simplifique a integral. Observando que a derivada de
é
, podemos ajustar nossa escolha de
e
para facilitar a integração.
Vamos redefinir:
-
(então ) -
Passo 5
Agora, encontramos
e
novamente.
Derivando
:
Integrando
para encontrar
:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. Assim:
Ignoramos a constante de integração
neste processo.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:
Passo 7
A integral restante
já conhecemos do Passo 5, que é:
Substituindo de volta:
Passo 8
Finalmente, podemos fatorar
:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Resolva no caderno estas equações:
c)
c)
Resolva no caderno as equaçōes exponenciais:
a)
a)
Resolva no caderno as seguintes equaçōes:
c)
c)
Resolva no caderno estas equações:
a)
a)