Calcular integrando por partes:

Passo 1

Vamos resolver o integral usando a técnica de integração por partes. A integração por partes é uma ferramenta útil quando temos um produto de duas funções, e queremos simplificar a integral. Para isso, precisamos identificar quais partes da expressão escolheremos como e . Neste caso, vamos precisar de derivar uma função e integrar a outra.

Passo 2

Primeiro, escolhemos qual função será e qual será . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada, e como a função que é fácil de integrar.
Vamos escolher:
  • (porque a derivada de é mais simples)
  • (vamos integrar esta parte)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e .
Derivando :
Integrando para encontrar :
No entanto, a integral de não tem uma antiderivada em termos de funções elementares. Isso indica que talvez a integração por partes não seja a melhor abordagem direta aqui.

Passo 4

Diante disso, vamos tentar uma substituição que simplifique a integral. Observando que a derivada de é , podemos ajustar nossa escolha de e para facilitar a integração.
Vamos redefinir:
  • (então )

Passo 5

Agora, encontramos e novamente.
Derivando :
Integrando para encontrar :
Fazendo a substituição , então , ou seja, . Assim:
Ignoramos a constante de integração neste processo.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:

Passo 7

A integral restante já conhecemos do Passo 5, que é:
Substituindo de volta:

Passo 8

Finalmente, podemos fatorar :

Resposta

A integral é igual a:

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