Calcular integrando por partes: integral x^3 cdot e^-x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver o integral integral x^3 cdot e^-x^2 , dx usando a técnica de integração por partes. A integração por partes é uma ferramenta útil quando temos um produto de duas funções, e queremos simplificar a integral. Para isso, precisamos identificar quais partes da expressão escolheremos como u e dv. Neste caso, vamos precisar de derivar uma função e integrar a outra.

Passo 2

Primeiro, escolhemos qual função será u e qual será dv. Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples quando derivada, e dv como a função que é fácil de integrar.
Vamos escolher:
  • u = x^3 (porque a derivada de x^3 é mais simples)
  • dv = e^-x^2 , dx (vamos integrar esta parte)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v.
Derivando u:
du = ddx(x^3) , dx = 3x^2 , dx
Integrando dv para encontrar v:
v = integral e^-x^2 , dx
No entanto, a integral de e^-x^2 não tem uma antiderivada em termos de funções elementares. Isso indica que talvez a integração por partes não seja a melhor abordagem direta aqui.

Passo 4

Diante disso, vamos tentar uma substituição que simplifique a integral. Observando que a derivada de -x^2 é -2x, podemos ajustar nossa escolha de u e dv para facilitar a integração.
Vamos redefinir:
  • u = x^2 (então du = 2x , dx)
  • dv = x cdot e^-x^2 , dx

Passo 5

Agora, encontramos du e v novamente.
Derivando u:
du = 2x , dx
Integrando dv para encontrar v:
v = integral x cdot e^-x^2 , dx
Fazendo a substituição w = -x^2, então dw = -2x , dx, ou seja, - 12 dw = x , dx. Assim:
v = integral e^w cdot (-12) , dw = -12 e^w + C = -12 e^-x^2 + C
Ignoramos a constante de integração C neste processo.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores encontrados:
integral x^3 cdot e^-x^2 , dx = x^2 cdot (-12 e^-x^2) - integral (-12 e^-x^2) cdot 2x , dx
Simplificando:
= -12 x^2 e^-x^2 + integral x cdot e^-x^2 , dx

Passo 7

A integral restante integral x cdot e^-x^2 , dx já conhecemos do Passo 5, que é:
integral x cdot e^-x^2 , dx = -12 e^-x^2 + C
Substituindo de volta:
-12 x^2 e^-x^2 + (-12 e^-x^2) + C

Passo 8

Finalmente, podemos fatorar e^-x^2:
-12 e^-x^2 (x^2 + 1) + C

Resposta

A integral integral x^3 cdot e^-x^2 , dx é igual a:
-12 e^-x^2 (x^2 + 1) + C

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