Calcule a integral de linha integralC x e^y z d s, onde C é o segmento de reta de (0,0,0) a
(2,3,4).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha integralC x e^y z d s, onde C é o segmento de reta que vai de (0,0,0) a (2,3,4). Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais de linha, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva C, expressar as variáveis x, y, z em termos de uma variável parâmetro, calcular o elemento de comprimento d s, e finalmente integrar a função ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta C. Como C é um segmento de reta de (0,0,0) a (2,3,4), podemos usar uma parametrização linear. Vamos escolher o parâmetro t que varia de 0 a 1:
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0 + 2t,, 0 + 3t,, 0 + 4t) = (2t,, 3t,, 4t)
Aqui, quando t=0, estamos no ponto (0,0,0), e quando t=1, chegamos ao ponto (2,3,4).

Passo 3

Agora, vamos expressar x, y e z em termos de t:
x(t) = 2t, y(t) = 3t, z(t) = 4t

Passo 4

Precisamos calcular o elemento de comprimento d s. Para isso, vamos calcular a derivada da parametrização em relação a t e depois o seu módulo:
r'(t) = (dxdt, dydt, dzdt) = (2,, 3,, 4)
|r'(t)| = raiz2^2 + 3^2 + 4^2 = raiz4 + 9 + 16 = raiz29
Portanto, d s = |r'(t)| dt = raiz29, dt

Passo 5

Agora, vamos substituir x, y, z e d s na integral original:
integralC x e^y z d s = integral0^1 x(t) e^y(t) z(t) |r'(t)| dt = integral0^1 2t cdot e^(3t)(4t) cdot raiz29, dt
Simplificando a expressão na exponencial:
e^y z = e^3t cdot 4t = e^12t^2
Portanto, a integral fica:
raiz29 integral0^1 2t cdot e^12t^2 dt

Passo 6

Vamos resolver a integral integral0^1 2t cdot e^12t^2 dt. Para isso, fazemos uma substituição simples:
Seja u = 12t^2, então dudt = 24t ou dt = du24t.
Substituindo na integral:
integral 2t cdot e^12t^2 dt = integral 2t cdot e^u cdot du24t = 112 integral e^u du = 112 e^u + C = 112 e^12t^2 + C
Avaliado de t=0 a t=1:
112 ( e^12(1)^2 - e^12(0)^2 ) = 112 ( e^12 - 1 )

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
raiz29 cdot 112 ( e^12 - 1 ) = raiz2912 ( e^12 - 1 )

Resposta

Portanto, a integral de linha é:
raiz2912 ( e^12 - 1 )

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