Calcule a integral de linha , onde é o segmento de reta de a
.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai de a . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais de linha, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva , expressar as variáveis , , em termos de uma variável parâmetro, calcular o elemento de comprimento , e finalmente integrar a função ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta . Como é um segmento de reta de a , podemos usar uma parametrização linear. Vamos escolher o parâmetro que varia de a :
Aqui, quando , estamos no ponto , e quando , chegamos ao ponto .

Passo 3

Agora, vamos expressar , e em termos de :

Passo 4

Precisamos calcular o elemento de comprimento . Para isso, vamos calcular a derivada da parametrização em relação a e depois o seu módulo:
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos substituir , , e na integral original:
Simplificando a expressão na exponencial:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral . Para isso, fazemos uma substituição simples:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:
Avaliado de a :

Passo 7

Voltando à nossa integral original:

Resposta

Portanto, a integral de linha é:

Exercícios relacionados

Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
f) Se então
Hallar una función una constante c que verifique
Calcular integrando por partes:
Encontre o trabalho realizado pelo campo de força
em uma partícula que se move sobre o arco do círculo de no sentido anti-horário.