Calcule a integral de linha
, onde
é o segmento de reta de
a
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
, onde
é o segmento de reta que vai de
a
. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais de linha, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva
, expressar as variáveis
,
,
em termos de uma variável parâmetro, calcular o elemento de comprimento
, e finalmente integrar a função ao longo da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta
. Como
é um segmento de reta de
a
, podemos usar uma parametrização linear. Vamos escolher o parâmetro
que varia de
a
:
Aqui, quando
, estamos no ponto
, e quando
, chegamos ao ponto
.
Passo 3
Agora, vamos expressar
,
e
em termos de
:
Passo 4
Precisamos calcular o elemento de comprimento
. Para isso, vamos calcular a derivada da parametrização em relação a
e depois o seu módulo:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos substituir
,
,
e
na integral original:
Simplificando a expressão na exponencial:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Para isso, fazemos uma substituição simples:
Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Avaliado de
a
:
Passo 7
Voltando à nossa integral original:
Resposta
Portanto, a integral de linha é:
Exercícios relacionados
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
f) Se então
f) Se
Hallar una función
una constante c que verifique
Calcular integrando por partes:
Encontre o trabalho realizado pelo campo de força
em uma partícula que se move sobre o arco do círculo
de
no sentido anti-horário.