Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
f) Se F(x, y, z) = 7 y^2 z i - 8 x z^4 j - 3 x y^3 k então
rot F = (-9 x y^2 + 32 x z^3) i + (3 y^3 + 7 y^2) j - (8 z^4 + 14 y z) k

Passo 1

Claro! Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial . O objetivo é verificar se o rotacional (ou curl) desse campo vetorial é igual a outra expressão dada:
Vamos usar o conceito de rotacional para resolver isso. Precisamos calcular o rotacional de e comparar com a expressão fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de é dado por:
Vamos identificar , e no nosso campo vetorial:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas necessárias:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 4

Agora, substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos comparar esse resultado com a expressão fornecida no enunciado:
Percebemos que as duas expressões são idênticas, apenas a ordem dos termos em está trocada, o que não afeta a igualdade.

Resposta

Verdadeiro (V). O rotacional de calculado é igual à expressão fornecida.

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