Calcular integrando por partes:

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a integral de em relação a , usando a técnica de integração por partes. Esse método é útil quando temos um produto de duas funções e queremos simplificar a integral. Vamos precisar conhecer a fórmula da integração por partes e identificar quais partes da nossa integral vamos designar como e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
Essa fórmula nos ajuda a transformar a integral original em outra que pode ser mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Uma boa estratégia é escolher como uma função que fica mais simples quando derivada, e como o restante da integral. No nosso caso, vamos escolher:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular e :
  1. Derivando :
  1. Integrando para encontrar :
Aqui, precisamos saber qual é a integral de . Como não foi especificada, deixamos como .

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes com os valores que encontramos:
Substituindo , e :

Resposta

A integral de é igual a:
onde é a constante de integração.

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e) Se então .