Calcular integrando por partes: integral x^2 L(x) d x

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a integral de em relação a , usando a técnica de integração por partes. Esse método é útil quando temos um produto de duas funções e queremos simplificar a integral. Vamos precisar conhecer a fórmula da integração por partes e identificar quais partes da nossa integral vamos designar como e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Essa fórmula nos ajuda a transformar a integral original em outra que pode ser mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos escolher quais partes da nossa integral serão u = x^2 e dv = L(x) , dx e . Uma boa estratégia é escolher como uma função que fica mais simples quando derivada, e como o restante da integral. No nosso caso, vamos escolher:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular du = ddx(x^2) , dx = 2x , dx e v = integral L(x) , dx :
  1. Derivando :
  1. Integrando para encontrar :
Aqui, precisamos saber qual é a integral de . Como não foi especificada, deixamos como .

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes com os valores que encontramos:
integral x^2 L(x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo = x^2 cdot integral L(x) , dx - integral ( integral L(x) , dx ) cdot 2x , dx , e :

Resposta

A integral de integral x^2 L(x) , dx = x^2 cdot integral L(x) , dx - 2 integral x ( integral L(x) , dx ) , dx + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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