Calcular usando el cambio de variable indicado: integral x1+x^4 d x x^2=t

Passo 1

Vamos resolver o exercício de integração: integral x1+x^4 dx, usando a substituição x^2 = t. Para isso, vamos precisar entender como fazer substituições em integrais e manipular expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição x^2 = t. Isso significa que t é uma nova variável que depende de x. Para mudar a variável na integral, precisamos relacionar dx com dt.

Passo 3

Derivando ambos os lados de t = x^2 em relação a x:
dtdx = 2x Rightarrow dt = 2x , dx
Desse jeito, podemos isolar dx:
dx = dt2x

Passo 4

Agora, substituímos x^2 por t e dx por dt2x na integral original:
integral x1+x^4 dx = integral x1+(x^2)^2 cdot dt2x
Perceba que x^4 = (x^2)^2 = t^2.

Passo 5

Simplificamos a expressão:
integral x1 + t^2 cdot dt2x = 12 integral 11 + t^2 dt
Os termos x se cancelam, deixando uma integral mais simples.

Passo 6

Agora, resolvemos a integral:
12 integral 11 + t^2 dt
Sabemos que:
integral 11 + t^2 dt = arctan(t) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Substituímos t de volta por x^2:
12 arctan(t) + C = 12 arctan(x^2) + C

Resposta

A integral é igual a 12 arctan(x^2) + C.

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