2,4 Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
e) Se F(x, y, z) = 7 y^2 z i - 8 x z^4 j - 3 x y^3 k então div F = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos determinar se a divergente desse campo vetorial é igual a zero. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o operador divergente (divergência). Para resolver isso, vamos calcular a divergente de e verificar se o resultado é realmente zero.

Passo 2

A divergente de um campo vetorial é dada pela fórmula:
Vamos identificar as componentes de :

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada parcial individualmente:
  1. Derivada parcial de em relação a :
Isso ocorre porque não depende de , então a derivada é zero.
  1. Derivada parcial de em relação a :
Novamente, não depende de , então a derivada é zero.
  1. Derivada parcial de em relação a :
Aqui, também não depende de , resultando em zero.

Resposta

Somando as derivadas parciais calculadas:
Portanto, a afirmação de que é Verdadeira.

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