Mostre que as propriedades familiares para o logaritmo real continua valendo para o logaritmo complexo, ou seja:
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que as propriedades que conhecemos do logaritmo real também funcionam para o logaritmo complexo. Especificamente, precisamos provar que
. Para isso, vamos precisar entender como funciona o logaritmo no campo complexo e usar algumas propriedades básicas de potências e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que para qualquer número complexo
, podemos escrever
na forma polar:
, onde
é o módulo de
e
é o argumento (ou ângulo) de
.
Passo 3
Agora, aplicamos o logaritmo complexo em
. O logaritmo complexo de
é dado por:
onde
é qualquer número inteiro, representando as diferentes ramificações do logaritmo devido à natureza periódica da função exponencial no plano complexo.
Passo 4
Vamos elevar
à potência
:
Isso vem da propriedade das potências para números complexos na forma polar.
Passo 5
Agora, aplicamos o logaritmo complexo em
:
Aqui, usamos a definição do logaritmo complexo para produtos.
Passo 6
Simplificamos
usando a propriedade dos logaritmos que diz
:
Portanto:
Passo 7
Observamos que:
Portanto, temos:
Passo 8
Considerando que o termo
representa as diferentes ramificações do logaritmo complexo, podemos concluir que:
Isso mostra que a propriedade se mantém para o logaritmo complexo, levando em conta as múltiplas valores do logaritmo.
Resposta
Assim, demonstramos que
é válido para o logaritmo complexo, mantendo as propriedades que conhecemos do logaritmo real.
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Calcular integrando por partes:
Estabeleça as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas:
e) Se
Sea la función
. Sea
la primitiva de
que cumple
. Calcular