Mostre que as propriedades familiares para o logaritmo real continua valendo para o logaritmo complexo, ou seja:

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que as propriedades que conhecemos do logaritmo real também funcionam para o logaritmo complexo. Especificamente, precisamos provar que . Para isso, vamos precisar entender como funciona o logaritmo no campo complexo e usar algumas propriedades básicas de potências e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para qualquer número complexo , podemos escrever na forma polar: , onde é o módulo de e é o argumento (ou ângulo) de .

Passo 3

Agora, aplicamos o logaritmo complexo em . O logaritmo complexo de é dado por:
onde é qualquer número inteiro, representando as diferentes ramificações do logaritmo devido à natureza periódica da função exponencial no plano complexo.

Passo 4

Vamos elevar à potência :
Isso vem da propriedade das potências para números complexos na forma polar.

Passo 5

Agora, aplicamos o logaritmo complexo em :
Aqui, usamos a definição do logaritmo complexo para produtos.

Passo 6

Simplificamos usando a propriedade dos logaritmos que diz :
Portanto:

Passo 7

Observamos que:
Portanto, temos:

Passo 8

Considerando que o termo representa as diferentes ramificações do logaritmo complexo, podemos concluir que:
Isso mostra que a propriedade se mantém para o logaritmo complexo, levando em conta as múltiplas valores do logaritmo.

Resposta

Assim, demonstramos que é válido para o logaritmo complexo, mantendo as propriedades que conhecemos do logaritmo real.

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