Estabeleça as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas:

Passo 1

Nesse exercício, a gente precisa encontrar a derivada da função hiperbólica . Para resolver isso, vamos usar o conhecimento sobre funções trigonométricas hiperbólicas e as regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função . Ela é definida como o inverso da função cosseno hiperbólico, ou seja:

Passo 3

Agora, para derivar , podemos usar a regra do quociente. Se temos uma função do tipo , sua derivada é:

Passo 4

Vamos aplicar essa regra à nossa função. Sabemos que a derivada de é , ou seja:
Então, substituindo na regra do quociente:

Passo 5

Podemos simplificar essa expressão usando as próprias funções hiperbólicas. Lembrando que:
Substituindo esses valores na derivada:

Resposta

A derivada de é .

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