Calcular as integrias a seguir utilizando o método da substituição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo que pede para calcular a integral
usando o método da substituição. Esse método é super útil para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver. Então, vamos precisar entender como escolher uma boa substituição para tornar essa integral mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da raiz:
. Podemos fatorar um
para facilitar:
Isso simplifica para:
Como estamos trabalhando com integrais indefinidas e geralmente consideramos
positivo, podemos remover o valor absoluto:
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método da substituição. Precisamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Aqui, observamos que dentro da raiz temos
, que é uma boa candidata para substituição.
Vamos definir:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Queremos expressar
em termos de
, então rearranjamos:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral
:
Multiplicando pelo
que tínhamos:
Passo 6
Agora, voltamos à variável original substituindo
:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
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