Calcular as integrias a seguir utilizando o método da substituição:
(c) integral raizx^2+2 x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo que pede para calcular a integral integral raizx^2+2 x^4 , dx usando o método da substituição. Esse método é super útil para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver. Então, vamos precisar entender como escolher uma boa substituição para tornar essa integral mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da raiz: x^2 + 2x^4. Podemos fatorar um x^2 para facilitar:
raizx^2 + 2x^4 = raizx^2(1 + 2x^2)
Isso simplifica para:
|x| raiz1 + 2x^2
Como estamos trabalhando com integrais indefinidas e geralmente consideramos x positivo, podemos remover o valor absoluto:
x raiz1 + 2x^2
Então, nossa integral fica:
integral x raiz1 + 2x^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da substituição. Precisamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Aqui, observamos que dentro da raiz temos 1 + 2x^2, que é uma boa candidata para substituição.
Vamos definir:
u = 1 + 2x^2
Agora, calculamos a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 4x Rightarrow du = 4x , dx
Queremos expressar x , dx em termos de du, então rearranjamos:
x , dx = du4

Passo 4

Substituímos u e x , dx na integral original:
integral x raiz1 + 2x^2 , dx = integral raizu cdot du4 = 14 integral u^1/2 , du

Passo 5

Agora, resolvemos a integral integral u^1/2 , du:
integral u^1/2 , du = u^3/232 + C = 23 u^3/2 + C
Multiplicando pelo 14 que tínhamos:
14 cdot 23 u^3/2 + C = 16 u^3/2 + C

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo u = 1 + 2x^2:
16 (1 + 2x^2)^3/2 + C

Resposta

A integral integral raizx^2+2 x^4 , dx é igual a 16 (1 + 2x^2)^3/2 + C, onde C é a constante de integração.

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Calcular as integrais indefinidas abaixo:
(h) integral x^3 raizx d x
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(d) integral(e^t d te^t+4)
Calcular as integrias a seguir utilizando o método da substituição:
(i) integral d yx^2-4 y+4