Calcular as integrias a seguir utilizando o método da substituição:
(d) integral(e^t d te^t+4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição. Esse método é útil quando conseguimos simplificar a integral escolhendo uma parte dela para substituir por uma nova variável. Para isso, vamos identificar uma função dentro da integral que, ao ser substituída, facilite a resolução.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição adequada. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador contêm . Então, vamos deixar .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudt = e^t em relação a , ou seja, . A derivada de é e a derivada de uma constante é zero. Portanto:
Isso nos mostra que .

Passo 4

Vamos substituir na integral original. Sabemos que integral duu e . Então, a integral fica:

Passo 5

Essa é uma integral básica que sabemos resolver. A integral de ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural de , ou seja:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos ln|e^t + 4| + C de volta pela expressão original em termos de :
Como é sempre positivo, podemos tirar o valor absoluto.

Resposta

A integral é igual a .

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