Calcular as integrias a seguir utilizando o método da substituição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método da substituição. Esse método é útil quando conseguimos simplificar a integral escolhendo uma parte dela para substituir por uma nova variável. Para isso, vamos identificar uma função dentro da integral que, ao ser substituída, facilite a resolução.
Passo 2
Vamos começar escolhendo uma substituição adequada. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador contêm
. Então, vamos deixar
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A derivada de
é
e a derivada de uma constante é zero. Portanto:
Isso nos mostra que
.
Passo 4
Vamos substituir na integral original. Sabemos que
e
. Então, a integral fica:
Passo 5
Essa é uma integral básica que sabemos resolver. A integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
, ou seja:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
de volta pela expressão original em termos de
:
Como
é sempre positivo, podemos tirar o valor absoluto.
Resposta
A integral
é igual a
.
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