Calcular as integrias a seguir utilizando o método da substituição:
(i) integral d yx^2-4 y+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo integral, mais especificamente ao método de substituição. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma troca de variável que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável u = x^2 - 4y + 4 . Olhando para o denominador , percebemos que é uma expressão linear em . Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial dudy = -4 em termos de du = -4, dy . Diferenciando ambos os lados da equação com relação a dy = -14, du :
Isso significa que:
Ou seja, podemos expressar em termos de :

Passo 4

Vamos substituir integral dyx^2 - 4y + 4 = integral -14, duu = -14 integral duu e na integral original. Substituindo na integral:

Passo 5

A integral -14 integral duu = -14 ln|u| + C é uma integral básica que resulta no logaritmo natural. Então, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original -14 ln|x^2 - 4y + 4| + C substituindo :

Resposta

A integral é igual a .

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