Calcular as integrias a seguir utilizando o método da substituição:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral
Isso envolve o conteúdo de integração por substituição, uma técnica útil para simplificar integrais mais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Vamos começar escolhendo uma substituição adequada. Observamos que o logaritmo está elevado ao quadrado e multiplicado por
. Vamos definir:
Isso simplifica a parte logarítmica da integral.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Assim, podemos escrever:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Aqui, a integral ficou mais simples, apenas envolvendo
.
Passo 5
Agora, integramos em termos de
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta para retornar a variável original
:
Resposta
A integral calculada é
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Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e