Calcular as integrias a seguir utilizando o método da substituição:
(j) integral ln x^2x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral
integral ln x^2x , dx
Isso envolve o conteúdo de integração por substituição, uma técnica útil para simplificar integrais mais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição adequada. Observamos que o logaritmo está elevado ao quadrado e multiplicado por u = ln x^2 . Vamos definir:
Isso simplifica a parte logarítmica da integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = ddx (ln x^2) = 2x em relação a du = 2x , dx ou du2 = 1x , dx para encontrar :
Assim, podemos escrever:

Passo 4

Substituímos integral ln x^2x , dx = integral u cdot 1x , dx = integral u cdot ( du2 ) = 12 integral u , du e na integral original:
Aqui, a integral ficou mais simples, apenas envolvendo .

Passo 5

Agora, integramos em termos de 12 integral u , du = 12 cdot u^22 + C = u^24 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u^24 + C = (ln x^2)^24 + C = (2 ln x)^24 + C = 4 (ln x)^24 + C = (ln x)^2 + C de volta para retornar a variável original :

Resposta

A integral calculada é
integral ln x^2x , dx = (ln x)^2 + C

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(k) integral sen^4 x cos x d x
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
f(x) = x^3 e g(x) = x