Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
f(x) = x^3 e g(x) = x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área entre os gráficos das funções e . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre como encontrar áreas entre curvas usando integrais. Para isso, vamos precisar identificar onde as duas funções se encontram e depois integrar a diferença entre elas nesses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se interceptam, ou seja, onde . Isso significa resolver a equação:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Isso nos dá as soluções:
Então, as interseções acontecem em , e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as funções se cruzam, precisamos determinar qual função está acima da outra em cada intervalo. Vamos analisar dois intervalos: de a e de a .
  • De a :
    Escolhendo um valor como :
    Aqui, está abaixo de .
  • De a :
    Escolhendo :
    Aqui, está acima de .

Passo 4

Com isso, podemos montar as expressões das integrais para cada intervalo, considerando a função que está por cima menos a que está por baixo:
Á

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente.
  1. Primeira integral ( a ):
Calculando nos limites:
  1. Segunda integral ( a ):
Calculando nos limites:

Passo 6

Agora, somamos as áreas dos dois intervalos:
Á

Resposta

A área entre os gráficos das funções e é unidades de área.

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