Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área entre os gráficos das funções
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre como encontrar áreas entre curvas usando integrais. Para isso, vamos precisar identificar onde as duas funções se encontram e depois integrar a diferença entre elas nesses intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se interceptam, ou seja, onde
. Isso significa resolver a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Isso nos dá as soluções:
Então, as interseções acontecem em
,
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as funções se cruzam, precisamos determinar qual função está acima da outra em cada intervalo. Vamos analisar dois intervalos: de
a
e de
a
.
-
De
a : Escolhendo um valor como: Aqui,está abaixo de . -
De
a : Escolhendo: Aqui,está acima de .
Passo 4
Com isso, podemos montar as expressões das integrais para cada intervalo, considerando a função que está por cima menos a que está por baixo:
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente.
- Primeira integral (
a ):
Calculando nos limites:
- Segunda integral (
a ):
Calculando nos limites:
Passo 6
Agora, somamos as áreas dos dois intervalos:
Resposta
A área entre os gráficos das funções
e
é
unidades de área.
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Mostre que
.
Calcule as integrais definidas abaixo: