Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al vector dado.
en
con
Passo 1
Vamos calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção paralela ao vetor
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica. Precisaremos encontrar o vetor unitário na direção de
e calcular o gradiente da função
no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor unitário na direção de
. O vetor unitário
é dado por:
onde
é a norma do vetor
.
Passo 3
Calculando a norma de
:
Portanto, o vetor unitário
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente da função
no ponto
. O gradiente
é dado pelas derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
No ponto
:
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 6
A derivada direcional
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário
:
Substituindo os valores:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é igual a
.
Exercícios relacionados
Em cada item, esboce a região do plano cujos pontos satisfazem as condições dadas.
(a) .
(a)
Encontrar el gradiente de la función:
en el punto (1,0).
Hallar la derivada de la función
en el punto (1,0) en la dirección que forma con el eje Ox un ángulos de
.
Para la función
, calcular en el punto (1,1), la máxima derivada direccional y la derivada direccional en la dirección y sentido definidos por el vector
.