Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al vector dado. f(x, y, z) = e^(x y) + y z en (1, 1, 1) con v = (1 ; -1 ; 1)

Passo 1

Vamos calcular a derivada direcional da função no ponto na direção paralela ao vetor . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica. Precisaremos encontrar o vetor unitário na direção de e calcular o gradiente da função no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor unitário na direção de . O vetor unitário é dado por:
onde é a norma do vetor .

Passo 3

Calculando a norma de :
Portanto, o vetor unitário é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente da função no ponto . O gradiente é dado pelas derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
No ponto :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 6

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário :
Substituindo os valores:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é igual a .

Exercícios relacionados

Em cada item, esboce a região do plano cujos pontos satisfazem as condições dadas.
(a) r <= 2.
Encontrar el gradiente de la función: f(x, y) = x^2 * y en el punto (1,0).
Hallar la derivada de la función f(x, y) = 2 x^2 - 3 y^2 en el punto (1,0) en la dirección que forma con el eje Ox un ángulos de +120 graus.
Para la función f(x, y) = x^2 * y * e^(x * y), calcular en el punto (1,1), la máxima derivada direccional y la derivada direccional en la dirección y sentido definidos por el vector i + j.