Hallar la derivada de la función
en el punto (1,0) en la dirección que forma con el eje Ox un ángulos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função
no ponto (1,0) na direção que forma um ângulo de
com o eixo Ox. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos mostra a taxa de variação da função em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é derivada direcional. Ela nos permite calcular como uma função muda em qualquer direção no espaço. Para isso, usamos o gradiente da função e o vetor da direção desejada. O gradiente,
, aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. As derivadas parciais são:
Portanto, o gradiente é:
Passo 4
No ponto (1,0), substituímos
e
no gradiente:
Passo 5
Agora, precisamos determinar o vetor na direção que forma
com o eixo Ox. Para isso, usamos as componentes do vetor na forma:
Com
:
Então, o vetor de direção é:
Passo 6
A derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor de direção:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto (1,0) na direção de
é -2.
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Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al vector dado.
en
con
Em cada item, esboce a região do plano cujos pontos satisfazem as condições dadas.
(a) .
(a)
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, calcular en el punto (1,1), la máxima derivada direccional y la derivada direccional en la dirección y sentido definidos por el vector
.
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en el punto