Para la función
, calcular en el punto (1,1), la máxima derivada direccional y la derivada direccional en la dirección y sentido definidos por el vector
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular, para a função
, no ponto (1,1):
- A máxima derivada direcional.
- A derivada direcional na direção e sentido definidos pelo vetor
.
Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais e gradiente de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
, o gradiente no ponto dado, e usar essas informações para encontrar as derivadas direcionais solicitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente de
no ponto (1,1). O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais:
Vamos substituir
e
nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto (1,1) é:
Passo 4
A máxima derivada direcional em um ponto ocorre na direção do gradiente nesse ponto, e o valor dessa derivada é igual ao módulo do gradiente. Ou seja:
Vamos calcular o módulo do gradiente:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada direcional na direção do vetor
. Primeiro, precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário, pois a derivada direcional usa a direção, não a magnitude.
A magnitude de
é:
O vetor unitário na direção de
é:
A derivada direcional
é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
A máxima derivada direcional no ponto (1,1) é
e a derivada direcional na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
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en el punto (1,0) en la dirección que forma con el eje Ox un ángulos de
.
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en
con
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