Calcular las siguientes integrales dobles pasando a coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
, onde
é a região definida por
. Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Para isso, precisamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas
para polares
e ajustar a área de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A equação
representa um círculo de raio
centrado na origem. Em coordenadas polares, essa região é descrita por
e
.
Passo 3
Agora, vamos converter a função integranda para coordenadas polares. Sabemos que:
-
-
-
- O diferencial de área
em coordenadas polares é
Substituindo na nossa integral:
Passo 4
Agora, montamos a integral em coordenadas polares:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Sabemos que:
Porque a função cosseno é simétrica e suas áreas positivas e negativas se cancelam no intervalo de
a
.
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de
sobre dominios que se croquizarán. Expresar dichas integrales dobles por integrales iteradas en el orden inverso de integración:
Verifique en cada caso que
:
Exprese en cada caso la integral doble sobre
como una integral iterativa y calcule su valor:
siendo
la región entre las gráficas de
y
de
a
Determine o Domínio, em notação de intervalo, para as funçōes abaixo: