Calcular las siguientes integrales dobles pasando a coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: , onde é a região definida por . Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Para isso, precisamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para polares e ajustar a área de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A equação representa um círculo de raio centrado na origem. Em coordenadas polares, essa região é descrita por e .

Passo 3

Agora, vamos converter a função integranda para coordenadas polares. Sabemos que:
  • O diferencial de área em coordenadas polares é
Substituindo na nossa integral:

Passo 4

Agora, montamos a integral em coordenadas polares:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Sabemos que:
Porque a função cosseno é simétrica e suas áreas positivas e negativas se cancelam no intervalo de a .

Resposta

A integral dupla vale .

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