Calcular las siguientes integrales dobles pasando a coordenadas polares. integral duplaD 2 x(x^2+y^2) d x d y D=x^2+y^2 <= 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral duplaD 2x(x^2+y^2) , dx , dy, onde D é a região definida por x^2 + y^2 <= 4. Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Para isso, precisamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta) e ajustar a área de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. A equação x^2 + y^2 <= 4 representa um círculo de raio 2 centrado na origem. Em coordenadas polares, essa região é descrita por 0 <= r <= 2 e 0 <= theta <= 2pi.

Passo 3

Agora, vamos converter a função integranda para coordenadas polares. Sabemos que:
  • x = rcostheta
  • y = rsintheta
  • x^2 + y^2 = r^2
  • O diferencial de área dx,dy em coordenadas polares é r,dr,dtheta
Substituindo na nossa integral:
2x(x^2 + y^2) = 2(rcostheta)(r^2) = 2r^3costheta

Passo 4

Agora, montamos a integral em coordenadas polares:
integral duplaD 2x(x^2+y^2) , dx , dy = integral0^2pi integral0^2 2r^3costheta cdot r , dr , dtheta
Simplificando:
= integral0^2pi integral0^2 2r^4costheta , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral0^2 2r^4costheta , dr = 2costheta integral0^2 r^4 , dr = 2costheta [ r^55 ]0^2 = 2costheta ( 325 - 0 ) = 645costheta

Passo 6

Agora, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 645costheta , dtheta = 645 integral0^2pi costheta , dtheta
Sabemos que:
integral0^2pi costheta , dtheta = 0
Porque a função cosseno é simétrica e suas áreas positivas e negativas se cancelam no intervalo de 0 a 2pi.

Resposta

A integral dupla vale 0.

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