Determine o Domínio, em notação de intervalo, para as funçōes abaixo: g(x) = e^x / raiz(x^2 + 6x + 5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o domínio da função . Aqui, estamos trabalhando com funções racionais e funções envolvendo raízes quadradas. Para achar o domínio, precisamos descobrir para quais valores de a função está bem definida, ou seja, onde o denominador não é zero e o que está dentro da raiz quadrada é positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da função: . Para que a raiz quadrada seja real e definida, o que está dentro dela, , tem que ser maior que zero. Além disso, como está no denominador, essa expressão não pode ser igual a zero, porque não dá para dividir por zero.

Passo 3

Então, vamos resolver a desigualdade . Para facilitar, vamos fatorar o polinômio:
Agora, queremos saber para quais valores de o produto é positivo.

Passo 4

Vamos identificar os pontos críticos onde a expressão muda de sinal: e . Esses são os zeros do denominador e serão excluídos do domínio. Agora, vamos testar os intervalos determinados por esses pontos:
  1. Para : Vamos escolher .
    Positivo.
  2. Para : Vamos escolher .
    Negativo.
  3. Para : Vamos escolher .
    Positivo.

Passo 5

Com isso, vemos que a expressão é positiva quando ou . Lembrando que e não estão no domínio porque fazem o denominador zero, o que não é permitido.

Resposta

O domínio da função é .

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