Exprese en cada caso la integral doble sobre
como una integral iterativa y calcule su valor:
siendo
la región entre las gráficas de
y
de
a
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular a integral dupla
, onde a região
está entre as curvas
e
, no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar conhecimentos de integrais duplas e organizar a integral como uma integral iterativa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região
. Ela está limitada pelas curvas
e
, e o intervalo de
vai de
até
. Queremos expressar a integral dupla como uma integral iterativa, ou seja, uma integral de uma integral.
Passo 3
Vamos fixar o valor de
entre
e
. Para cada valor de
, o valor de
varia entre
e
. Então, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterativa da seguinte forma:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Para integrar
em relação a
, usamos a regra básica da integral:
Passo 5
Aplicando os limites de integração de
a
, temos:
Passo 6
Simplificando a expressão, obtemos:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 7
Agora, nossa integral iterativa ficou assim:
Vamos resolver essa integral termo a termo.
Passo 8
Integrando cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Juntando tudo, a integral fica:
Agora, vamos calcular nos limites de integração.
Passo 10
Substituindo
:
Substituindo
:
Subtraindo os valores:
Resposta
O valor da integral é
.
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