Exprese en cada caso la integral doble sobre R como una integral iterativa y calcule su valor: integral duplaR(y+1) d A siendo R la región entre las gráficas de y=sen(x) y y=cos (x) de x=0 a x=pi / 4

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular a integral dupla integral duplaR(y+1) , dA, onde a região R está entre as curvas y = sin(x) e y = cos(x), no intervalo de x = 0 até x = pi/4. Para isso, vamos usar conhecimentos de integrais duplas e organizar a integral como uma integral iterativa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região R. Ela está limitada pelas curvas y = sin(x) e y = cos(x), e o intervalo de x vai de 0 até pi/4. Queremos expressar a integral dupla como uma integral iterativa, ou seja, uma integral de uma integral.

Passo 3

Vamos fixar o valor de x entre 0 e pi/4. Para cada valor de x, o valor de y varia entre y = sin(x) e y = cos(x). Então, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterativa da seguinte forma:
integralx=0^pi/4 integraly=sin(x)^cos(x) (y + 1) , dy , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a y:
integralsin(x)^cos(x) (y + 1) , dy
Para integrar (y + 1) em relação a y, usamos a regra básica da integral:
integral (y + 1) , dy = y^22 + y

Passo 5

Aplicando os limites de integração de y = sin(x) a y = cos(x), temos:
[ y^22 + y ]sin(x)^cos(x) = ( cos^2(x)2 + cos(x) ) - ( sin^2(x)2 + sin(x) )

Passo 6

Simplificando a expressão, obtemos:
cos^2(x) - sin^2(x)2 + cos(x) - sin(x)
Sabemos que cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x), então substituímos:
cos(2x)2 + cos(x) - sin(x)

Passo 7

Agora, nossa integral iterativa ficou assim:
integral0^pi/4 ( cos(2x)2 + cos(x) - sin(x) ) dx
Vamos resolver essa integral termo a termo.

Passo 8

Integrando cada termo:
  1. Para cos(2x)2:
integral cos(2x)2 , dx = 14 sin(2x)
  1. Para cos(x):
integral cos(x) , dx = sin(x)
  1. Para -sin(x):
integral -sin(x) , dx = cos(x)

Passo 9

Juntando tudo, a integral fica:
[ 14 sin(2x) + sin(x) + cos(x) ]0^pi/4
Agora, vamos calcular nos limites de integração.

Passo 10

Substituindo x = pi/4:
14 sin(2 cdot pi4) + sin(pi4) + cos(pi4) = 14 cdot 1 + raiz22 + raiz22 = 14 + raiz2
Substituindo x = 0:
14 sin(0) + sin(0) + cos(0) = 0 + 0 + 1 = 1
Subtraindo os valores:
( 14 + raiz2 ) - 1 = raiz2 - 34

Resposta

O valor da integral é raiz2 - dfrac34.

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