Exprese en cada caso la integral doble sobre como una integral iterativa y calcule su valor: siendo la región entre las gráficas de y de a

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular a integral dupla , onde a região está entre as curvas e , no intervalo de até . Para isso, vamos usar conhecimentos de integrais duplas e organizar a integral como uma integral iterativa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região . Ela está limitada pelas curvas e , e o intervalo de vai de até . Queremos expressar a integral dupla como uma integral iterativa, ou seja, uma integral de uma integral.

Passo 3

Vamos fixar o valor de entre e . Para cada valor de , o valor de varia entre e . Então, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterativa da seguinte forma:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Para integrar em relação a , usamos a regra básica da integral:

Passo 5

Aplicando os limites de integração de a , temos:

Passo 6

Simplificando a expressão, obtemos:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 7

Agora, nossa integral iterativa ficou assim:
Vamos resolver essa integral termo a termo.

Passo 8

Integrando cada termo:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 9

Juntando tudo, a integral fica:
Agora, vamos calcular nos limites de integração.

Passo 10

Substituindo :
Substituindo :
Subtraindo os valores:

Resposta

O valor da integral é .

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