Calcular las siguientes integrales dobles pasando a coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla , onde a região é definida por . Essa integral envolve coordenadas cartesianas, mas como a região é um círculo, é mais fácil usar coordenadas polares. Então, vamos precisar saber como converter integrais de coordenadas cartesianas para polares e entender um pouco sobre integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar de coordenadas cartesianas para polares . As relações são:
E o elemento de área em coordenadas polares vira . Isso porque, em polar, a área é dividida em pequenos setores circulares.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando, , em termos de e . Sabemos que:
Então, a função fica:

Passo 4

Vamos agora definir os limites de integração em coordenadas polares. Como é o círculo onde , isso significa que varia de a (o raio do círculo) e varia de a (ao redor de todo o círculo).

Passo 5

Com tudo isso, podemos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:

Passo 6

Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a :
Fazendo uma substituição simples, deixe , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a :

Passo 8

Multiplicando os resultados das integrais interna e externa, temos:

Resposta

A integral dupla vale .

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Considere a função . Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de em . Para isso, siga os seguintes passos: Calcule .
Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de sobre dominios que se croquizarán. Expresar dichas integrales dobles por integrales iteradas en el orden inverso de integración:
Para a função abaixo, determine o domínio e as assintotas verticais e horizontais, caso existam.
Determine o Domínio, em notação de intervalo, para as funçōes abaixo: pts)