Calcular las siguientes integrales dobles pasando a coordenadas polares. integral duplaD e^-(x^2+y^2) d x d y D=x^2+y^2 <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaD e^-(x^2+y^2) dx dy, onde a região D é definida por x^2+y^2 <= 1. Essa integral envolve coordenadas cartesianas, mas como a região D é um círculo, é mais fácil usar coordenadas polares. Então, vamos precisar saber como converter integrais de coordenadas cartesianas para polares e entender um pouco sobre integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar de coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta). As relações são:
x = r cos theta y = r sin theta
E o elemento de área dx,dy em coordenadas polares vira r,dr,dtheta. Isso porque, em polar, a área é dividida em pequenos setores circulares.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando, e^-(x^2+y^2), em termos de r e theta. Sabemos que:
x^2 + y^2 = r^2
Então, a função fica:
e^-(x^2+y^2) = e^-r^2

Passo 4

Vamos agora definir os limites de integração em coordenadas polares. Como D é o círculo onde x^2+y^2 <= 1, isso significa que r varia de 0 a 1 (o raio do círculo) e theta varia de 0 a 2pi (ao redor de todo o círculo).

Passo 5

Com tudo isso, podemos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaD e^-(x^2+y^2) dx dy = integral0^2pi integral0^1 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a r:
integral0^1 r e^-r^2 , dr
Fazendo uma substituição simples, deixe u = -r^2, então du = -2r,dr, ou seja, r,dr = -12 du. A integral fica:
-12 integral0^-1 e^u , du = 12 ( e^0 - e^-1 ) = 12 (1 - e^-1)

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 8

Multiplicando os resultados das integrais interna e externa, temos:
2pi cdot 12 (1 - e^-1) = pi (1 - e^-1)

Resposta

A integral dupla vale pi (1 - e^-1).

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