Calcular las siguientes integrales dobles pasando a coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
, onde a região
é definida por
. Essa integral envolve coordenadas cartesianas, mas como a região
é um círculo, é mais fácil usar coordenadas polares. Então, vamos precisar saber como converter integrais de coordenadas cartesianas para polares e entender um pouco sobre integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar de coordenadas cartesianas
para polares
. As relações são:
E o elemento de área
em coordenadas polares vira
. Isso porque, em polar, a área é dividida em pequenos setores circulares.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando,
, em termos de
e
. Sabemos que:
Então, a função fica:
Passo 4
Vamos agora definir os limites de integração em coordenadas polares. Como
é o círculo onde
, isso significa que
varia de
a
(o raio do círculo) e
varia de
a
(ao redor de todo o círculo).
Passo 5
Com tudo isso, podemos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:
Passo 6
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo uma substituição simples, deixe
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral externa em relação a
:
Passo 8
Multiplicando os resultados das integrais interna e externa, temos:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Considere a função
. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
em
. Para isso, siga os seguintes passos:
Calcule
.
Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de
sobre dominios que se croquizarán. Expresar dichas integrales dobles por integrales iteradas en el orden inverso de integración:
Para a função abaixo, determine o domínio e as assintotas verticais e horizontais, caso existam.
Determine o Domínio, em notação de intervalo, para as funçōes abaixo:
pts)