Para a função abaixo, determine o domínio e as assintotas verticais e horizontais, caso existam.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o domínio da função e também identificar se existem assíntotas verticais e horizontais. Para isso, vamos usar conceitos de função, raízes quadradas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que fazem a função ser “valida”, ou seja, que não causem problemas como divisão por zero ou raiz de número negativo.
Nesse caso, temos uma raiz quadrada, então o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Além disso, o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, ou .

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade . Para isso, analisamos os intervalos definidos pelos pontos onde o numerador ou denominador são zero: e .
  • Intervalo 1:
    • Numerador é negativo
    • Denominador é negativo
    • é positivo
  • Intervalo 2:
    • Numerador é negativo
    • Denominador é positivo
    • é negativo
  • Intervalo 3:
    • Numerador é positivo
    • Denominador é positivo
    • é positivo
Como queremos que , os intervalos válidos são e . Porém, lembre-se que . Então, o domínio é:

Passo 4

Agora vamos procurar assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de que fazem o denominador ser zero, mas o numerador não. No nosso caso, o denominador quando . Então, existe uma assíntota vertical em:

Passo 5

Por último, vamos verificar se existem assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o limite da função quando tende a e .
Então, há uma assíntota horizontal em:

Resposta

  • Domínio:
  • Assíntota Vertical:
  • Assíntota Horizontal:

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