Calcular
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
tende ao infinito da razão entre a soma dos termos
e o logaritmo de
. O conteúdo envolvido aqui é a análise de séries e limites, especificamente a série harmônica e propriedades dos logaritmos. Vamos precisar entender como a soma dos termos da série harmônica se comporta conforme
aumenta e como isso se relaciona com o logaritmo de
.
Passo 2
Vamos analisar a soma
. Essa soma é conhecida como série harmônica. É importante saber que a série harmônica diverge, ou seja, ela tende ao infinito à medida que
cresce. Mas como exatamente ela cresce?
Passo 3
Existem estimativas para a soma da série harmônica. Uma aproximação útil é que
é aproximadamente igual a
, onde
é o logaritmo natural de
e
é a constante de Euler-Mascheroni, que é aproximadamente 0,577. Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora, queremos calcular o limite da razão
quando
tende ao infinito. Substituindo a aproximação de
, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
À medida que
tende ao infinito,
também tende ao infinito, o que faz com que
tende a zero.
Passo 6
Portanto, o limite se torna:
Resposta
O limite é igual a
.