Calcular
lim n infty 1+12+13+cdots+1nlog n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando tende ao infinito da razão entre a soma dos termos e o logaritmo de . O conteúdo envolvido aqui é a análise de séries e limites, especificamente a série harmônica e propriedades dos logaritmos. Vamos precisar entender como a soma dos termos da série harmônica se comporta conforme aumenta e como isso se relaciona com o logaritmo de .

Passo 2

Vamos analisar a soma . Essa soma é conhecida como série harmônica. É importante saber que a série harmônica diverge, ou seja, ela tende ao infinito à medida que cresce. Mas como exatamente ela cresce?

Passo 3

Existem estimativas para a soma da série harmônica. Uma aproximação útil é que Sn approx ln n + gamma é aproximadamente igual a , onde é o logaritmo natural de e é a constante de Euler-Mascheroni, que é aproximadamente 0,577. Então, podemos escrever:

Passo 4

Agora, queremos calcular o limite da razão Snln n approx ln n + gammaln n quando tende ao infinito. Substituindo a aproximação de , temos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
ln n + gammaln n = ln nln n + gammaln n = 1 + gammaln n
À medida que tende ao infinito, também tende ao infinito, o que faz com que tende a zero.

Passo 6

Portanto, o limite se torna:
limn to infty (1 + gammaln n) = 1 + 0 = 1

Resposta

O limite é igual a .

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