Se sumn=1^infty an é uma série convergente e an >= 0 para todo n in N, mostre que a série sumn=1^infty an cos (n x) é absolutamente convergente.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita sumn=1^infty an que é convergente e cada termo an é não negativo. O objetivo é mostrar que a série sumn=1^infty an cos(n x) é absolutamente convergente. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de convergência de séries e de séries absolutas, além de utilizar propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma série sumn=1^infty bn é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos sumn=1^infty |bn| é convergente. Então, para mostrar que sumn=1^infty an cos(n x) é absolutamente convergente, precisamos verificar se sumn=1^infty |an cos(n x)| converge.

Passo 3

Observamos que |cos(n x)| <= 1 para todo n e para todo x. Portanto, podemos afirmar que:
|an cos(n x)| <= an

Passo 4

Como an >= 0 e sabemos que a série sumn=1^infty an é convergente, podemos aplicar o teste da comparação. Se |an cos(n x)| <= an e sumn=1^infty an converge, então a série sumn=1^infty |an cos(n x)| também converge.

Passo 5

Concluímos, portanto, que a série sumn=1^infty an cos(n x) é absolutamente convergente, já que a série dos termos absolutos converge.

Resposta

A série sumn=1^infty an cos(n x) é absolutamente convergente.

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