Se
é uma série convergente e
para todo
, mostre que a série
é absolutamente convergente.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita
que é convergente e cada termo
é não negativo. O objetivo é mostrar que a série
é absolutamente convergente. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de convergência de séries e de séries absolutas, além de utilizar propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma série
é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos
é convergente. Então, para mostrar que
é absolutamente convergente, precisamos verificar se
converge.
Passo 3
Observamos que
para todo
e para todo
. Portanto, podemos afirmar que:
Passo 4
Como
e sabemos que a série
é convergente, podemos aplicar o teste da comparação. Se
e
converge, então a série
também converge.
Passo 5
Concluímos, portanto, que a série
é absolutamente convergente, já que a série dos termos absolutos converge.
Resposta
A série
é absolutamente convergente.