a) Mostre que se
e
é uma sequência limitada, então
.
b) Use o item (a) para mostrar que
.
b) Use o item (a) para mostrar que
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos duas partes:
a) Precisamos mostrar que se a sequência
e a sequência
é limitada, então
.
b) Usando o item (a), devemos mostrar que
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de sequências limitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência
é limitada se existe um número real
tal que
para todo
. Isso quer dizer que os termos da sequência não “explodem” para infinito; eles ficam dentro de um intervalo fixo.
Passo 3
Agora, sabemos que
. Isso significa que, conforme
cresce, os termos
ficam cada vez menores, aproximando-se de zero.
Passo 4
Queremos provar que
. Vamos usar a propriedade dos limites que nos diz que se uma sequência
tende a zero e
é limitada, então o produto
também tende a zero.
Passo 5
Para formalizar, já que
é limitada, existe
tal que
para todo
. Então, temos:
Passo 6
Como
, para qualquer
, existe um
tal que para todo
,
. Substituindo na desigualdade anterior:
Passo 7
Assim, mostramos que para qualquer
, existe um
tal que para todo
,
. Isso confirma que
.
Resposta
a)
b)