a) Mostre que se lim n infty an=0 e (bn) é uma sequência limitada, então lim n infty an bn=0.
b) Use o item (a) para mostrar que lim n infty sen(n)n=0.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos duas partes:
a) Precisamos mostrar que se a sequência e a sequência é limitada, então .
b) Usando o item (a), devemos mostrar que .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de sequências limitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência é limitada se existe um número real tal que para todo . Isso quer dizer que os termos da sequência não “explodem” para infinito; eles ficam dentro de um intervalo fixo.

Passo 3

Agora, sabemos que . Isso significa que, conforme cresce, os termos ficam cada vez menores, aproximando-se de zero.

Passo 4

Queremos provar que . Vamos usar a propriedade dos limites que nos diz que se uma sequência tende a zero e é limitada, então o produto também tende a zero.

Passo 5

Para formalizar, já que |an bn| = |an| cdot |bn| <= |an| cdot M é limitada, existe tal que para todo . Então, temos:

Passo 6

Como |an bn| <= |an| cdot M < epsilonM cdot M = epsilon , para qualquer , existe um tal que para todo , . Substituindo na desigualdade anterior:

Passo 7

Assim, mostramos que para qualquer , existe um tal que para todo , . Isso confirma que .

Resposta

a)
b)

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