Calcular lim x 0^+ ln (3 x)ln (4 x)

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício envolve o conceito de limites e o uso das propriedades dos logaritmos. Para resolver, vamos precisar entender como os logaritmos se comportam quando se aproxima de zero e aplicar algumas técnicas básicas de cálculo de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando as propriedades dos logaritmos. Sabemos que ln(3x)ln(4x) = ln 3 + ln xln 4 + ln x , então podemos reescrever os logaritmos no numerador e no denominador:

Passo 3

Agora, vamos observar o comportamento de cada parte quando se aproxima de 0 pelo lado positivo ( ). Sabemos que tende a quando . Então, tanto no numerador quanto no denominador, domina sobre as constantes e .

Passo 4

Para facilitar, vamos fatorar ln 3 + ln xln 4 + ln x = ln x (1 + ln 3ln x)ln x (1 + ln 4ln x) tanto no numerador quanto no denominador:

Passo 5

Agora, podemos simplificar 1 + ln 3ln x1 + ln 4ln x que está presente em ambos os lados da fração:

Passo 6

Como 1 + 01 + 0 = 11 = 1 , . Isso faz com que e tendam a 0. Portanto, a expressão simplifica para:

Resposta

O limite é igual a 1.

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